确定混沌与随机混沌系统复杂性研究

The chaotic behavior in deterministic systems is called deterministic chaos. Deterministic chaos and stochastic chaos has been discovered in numerous natural phenomena. The study on them has important scientific significance and potential applications. It is well known that for an n-dimension autonomous system, there exists no chaos for n=2, chaos for at least n=3. Therefore, a qualitatively study of 3-dimension deterministic and stochastic chaotic systems is of particular importance in the study of chaotic systems. The project first establishes some criteria of characteristics, such as global attractivity and stability, boundedness, positive Lyapunov exponents, homoclinic and heteroclinic orbits, singularly degenerate heteroclinic cycles, bifurcation and chaotic attractor for 3-dimension unified Lorenz-type systems, perturbed Hamiltonian systems and other deterministically chaotic systems. Then we study the impact of stochastic perturbation to 3-dimensional deterministic chaotic system. By rigorous mathematical analysis and symbolic computation to get around the difficulty in the study of deterministic chaos and stochastic chaos, we investigate the qualitative structures and their interaction of general 3-dimensional deterministically chaotic system, such as the stochastic chaos and bifurcation induced by the stochastic perturbation on deterministic systems, and the route to stochastic and deterministic chaos. On the basis of these studies, we obtain generating mechanism of the complexity of both deterministic and stochastic chaos in higher-dimension systems and make a new breakthrough as well.

在确定性系统解中出现的混沌称为确定混沌，它与随机混沌普遍存在于许多自然过程，研究它们具有重要的科学意义和应用前景。对于n维自治系统，n=2无确定混沌，而出现确定混沌至少n=3，因此对3维确定混沌系统与3维随机混沌系统的定性研究具有特别重要的地位。本项目以3维混沌系统作为研究平台，首先建立3维统一的Lorenz-like型系统和扰动Homilton系统等典型确定混沌系统的全局吸引与稳定性、有界性与正Lyapunov指数、同宿轨或异宿轨、奇异退化异宿环、分支与混沌吸引子等定性结构判据；然后讨论随机扰动对3维确定混沌系统的影响，辅以理论推导和计算机符号推理克服确定混沌或随机混沌系统探讨中的缺点和障碍，研究一般3维确定混沌系统以及在随机扰动下的确定混沌系统诱变的随机混沌、随机分支等定性结构及其相互联系与通往确定混沌或随机混沌的途径，获得一些高维系统的确定混沌与随机混沌复杂性构成机理，并有新的突破。

通过本项目的研究，以3维混沌系统作为研究平台，建立3维统一的Lorenz-like型系统等典型确定混沌系统的全局吸引与稳定性、有界性与正Lyapunov指数、同宿轨或异宿轨、奇异退化异宿环、分支与混沌吸引子等定性结构判据；然后讨论随机扰动对3维确定混沌系统的影响，辅以理论推导和计算机符号推理克服确定混沌或随机混沌系统探讨中的缺点和障碍，研究一般3维确定混沌系统以及在随机扰动下的确定混沌系统诱变的随机分支等定性结构及其相互联系与通往确定混沌或随机混沌的途径，获得一些高维系统的确定混沌与随机混沌复杂性构成机理，并有新的突破。. 项目具体研究3维系统的分支与混沌复杂性, 发现统一Lorenz型系统的一种可能通向混沌的新途径和不变代数曲面的存在机理，获得在不同条件下所产生的不同吸引子的几何结构，给出了STF完整分类以及产生Hopf分支与异宿轨分支的判据; 基于统一Lorenz型系统，分别发现四类新的超混沌系统，建立了4维至6维受控Lorenz型超混沌系统的稳定性、正Lyapunov指数、分支、同宿轨或异宿轨、混沌吸引子等定性结构判据，初步探讨这些系统混沌或超混沌的可能构成机理；严格证明无穷维线性系统的分布混沌的存在性，获得了乘积算子是本质分布混沌的当且仅当存在一个因子算子是本质分布混沌的。研究了分数阶混沌系统的动力学复杂性，探测混沌的存在性，讨论了分数阶混沌系统组合同步和分数阶复杂网络的牵引同步、投影外同步问题，获得混沌同步的相关定理。分别研究一类离散系统的复杂动力学和时标动态系统的振动性、零点分布特征, 获得一系列判断准则。证明了3维随机Lorenz混沌动力系统遍历性，在非Markov框架下深入研究随机系统等随机稳定性、定性结构的复杂性特征，提出了随机D-分支和随机P-分支等概念，并获得了一些典型模型的随机分支判别方法。. 在国家基金委的支持下，经过四年的努力，在Chaos等国际刊物发表或录用31篇，其中SCI收录29篇，超额完成了项目申请的在国内外核心刊物发表16至21篇以上，至少16篇SCI检索的要求。