非线性扩散方程的定性理论

本项目研究来源于几何、物理、材料和生命科学领域中的一些非传统非线性扩散方程的基本定性理论，主要研究内容包括以下五个方面：（1）具时滞的非线性扩散方程理论；（2）非局部反应-扩散-对流方程理论；（3）非散度型非线性扩散方程理论；（4）椭圆-抛物和抛物-双曲混合型方程及方程组的理论；（5）各向异性的扩散-对流方程和对流占有的非线性扩散方程理论。.本项目的研究既能丰富和发展非线性椭圆与抛物方程的数学理论、研究方法和研究技巧，又能为其它学科和实际问题的研究提供强有力的分析工具和重要的理论参考。

在本项目的实施过程中，我们按照研究计划开展了全面的研究，完成了研究目标，具体的研究成果包括以下几个方面：(1) 在具时滞非线性扩散方程行波解理论方面，我们考虑了一类含Huxley双稳态源的时滞退化奇异抛物方程的行波解。不同于经典的线性扩散方程，我们发现对时滞退化奇异扩散方程行波可能会是有限的、半有限的或无限的，而对于有限或半有限行波，又可能会存在sharp波；(2) 在非散度型非线性扩散方程的定性理论方面，考虑了一类非散度型扩散方程的自相似解问题。首先我们对纯扩散情形讨论了Forward 相似解的存在性问题，确立了一族非熄灭的相似解的存在性，并研究了这类解的奇异性，探讨了在时间t趋于无穷时和Dirac函数之间的紧密联系。其次，我们研究了一类具非线性负指数源的非线性扩散方程的backward自相似解问题，对非线性源指标进行了分类，讨论了不同指数情形下自相似解的存在性于与不存在性结果，并对趋于0的解进一步研究了解在无穷远处的衰减速率；(3) 在非线性扩散方程最优控制理论方面，对于在局部边界发生对流的非线性热交换系统（该系统用发展型p-Laplace方程来描述）的最优控制问题进行了研究，证明了最优控制的存在性、最优系统的必要条件和最大值原理；对于具Logistic增长的边界退化抛物方程支配系统的最优控制理论进行了研究，首先证明了弱解的适定性，进而得到了反映捕获成本和收益的目标泛函的最优控制的存在性，特别地，在对偶系统解唯一的基础上，对最优系统进行了刻画和分析；(4) 在伪抛物方程解的定性理论方面，我们研究了伪抛物型方程的第二临界指标和非整体解的life span，并分析了粘性系数对解的渐近行为和爆破时间的影响；(5) 在非线性扩散方程解的渐近行为性质研究方面，我们研究了一般的变化的时空scaling变换对Newton渗流方程解的渐近行为的影响，发现了解渐近行为的临界scaling指数，并据此scaling变换指数对解的渐近行为作出了完整的分类，得到了当scaling变换指数小于这个临界指数时，Newton渗流方程解就存在复杂的渐近行为，当scaling变换指数不小于这个临界指数时，就不会存在复杂的渐近行为。