几类偏微分方程的若干性质

This project concerns the properties of some classes of partial differential equations. Precisely, we investigate the existence and uniqueness, regularity, controllability and stabilizability of the degenerate and singular parabolic equations, the compressible Navier-Stokes equations and the improved Boussinesq equations. The degenerate and singular parabolic equations can be used to describe the diffusion phenomena, and the compressible Navier-Stokes equations and the improved Boussinesq equations can be used to describe fluid movement, which have a wide range of applications in our production and life. The research can not only enrich the related theory of partial differential equations, but also provide the theoretical basis for the applications in relevant areas.

本项目主要研究几类偏微分方程的若干性质。具体内容包括：具有退化奇异性质的抛物方程、可压的Navier-Stokes方程和广义Boussinesq方程的存在唯一性、正则性、能控性和能稳性等性质。具有退化奇异性质的抛物方程可以用来描述扩散现象，可压的Navier-Stokes方程与广义Boussinesq方程可以用来描述流体运动，它们在人类的生产生活中都有广泛的应用。本项目的研究工作不仅丰富了偏微分方程的相关理论，也为相关应用领域提供了理论依据。

本项目的主要研究内容为由发展的p-Laplace方程支配的最优控制问题，其中p>2。该方程也称为非牛顿渗流方程，来源于流体力学。控制函数是热交换系数，作用在区域的边界上。第一个研究目标是对于给定的成本泛函，证明使成本泛函达到最小时的控制函数的存在性。第二个研究目标是给出最优控制函数的表达式。对于第一个研究目标，利用变分法，我们证明了当初值为L2空间中的非负有界函数时的发展的p-Laplace方程的最优控制的存在性。第二个研究目标可以参考热方程的最优控制问题的研究方法。热方程的最优控制函数的构造方法是对于一个给定的最优控制，导出一个由原问题和对偶问题耦合的优化系统，最优控制可以用该优化系统的解表示，最后只需证明该优化系统的解的存在唯一性即可。由于发展的p-Laplace方程是拟线性的，它的对偶方程的表示比较复杂，因此要算出最优控制的表达式还有一些困难，目前还在研究过程中。