具奇异性非线性扩散方程的定性理论

There are a rather long history and fruitful researches in the investigation of nonlinear diffusion equations, which has been one of the hot topics in the field of partial differential equations. With the rapid development of science and technologies, quantitative approaches have been deeply applied in the complicated systems of natural sciences and social sciences, and so more and more new equations, problems and phenomena are revealed in the field of nonlinear diffusion equations. This project aims to investigate the qualitative theory of solutions for nonlinear diffusion equations, including the following four aspects: the qualitative theory of solutions of the pseudo-parabolic regularization of nonlinear forward-backward diffusion equations; complexity of the asymptotic behavior of solutions of nonlinear diffusion equations; the qualitative properties of nonplanar traveling waves; and qualitative theory for non-divergent nonlinear diffusion equations. The investigation will both enrich and develop the mathematical theory, the approaches and techniques of partial differential equations, and provide high level analytic tools and important references for other subjects and practical problems.

非线性扩散方程的研究有着相当长的研究历史和丰富的研究成果，它一直是偏微分方程研究领域的热点问题。随着科学技术的飞速发展，自然科学以及经济和社会等复杂系统的量化研究逐渐深入，非线性扩散方程领域产生的新方程、新问题、发现的新现象层出不穷。 本项目旨在研究具奇性的非线性扩散方程解的定性理论，主要包括以下四个方面的内容：非线性正倒向扩散方程的伪抛物正则化解的定性理论、非线性扩散方程解的复杂渐近性、非平面行波解的定性性质和非散度型扩散方程的定性理论。本项目的研究既能丰富和发展偏微分方程的数学理论、研究方法和研究技巧，又能为其它学科和实际问题的研究提供强有力的分析工具和重要的理论参考。

在本项目的实施过程中，我们按照研究计划开展了全面的研究，完成了研究目标，具体的研究成果包括以下几个方面：（1）在伪抛物方程解的定性理论方面，我们考虑了具有一系列小摄动的热方程的解的渐近行为，这些小摄动包括伪抛物粘性摄动，内部源摄动，内部非齐次摄动以及初值摄动。我们根据非负非平凡周期古典解的存在性，对源指数p进行了完全分类，同时描述了粘性系数趋近于零时周期解的渐近性态。此外我们还研究了具Log型源的伪抛物型方程，发现了Log型源与幂指型源以及线性源的重要区别，研究了含KPP型源的伪抛物型方程的波前解，得到了一定条件下波前解的存在性及局部指数稳定性。（2）在可压Navier-stokes方程的周期解问题方面，我们考虑了3维无界区域上等熵的可压Navier-stokes方程的周期解问题这一公开问题，并提出了关于外力的一个对称性条件，得到周期解的存在性。我们也研究了三维有界区域上周期解的存在性及稳定性并对一可压液晶流系统确定了含有真空的周期弱解的存在性结果。（3）在双曲空间上扩散方程的定性问题方面，我们研究了双曲空间上热方程的临界指标问题，表明双曲空间上问题的临界指标不是爆破指标而欧氏空间有界域类似问题的临界指标是爆破指标，揭示了双曲空间上偏微分方程具有独特的新现象.（4）在趋化及其耦合模型解的适定性理论研究方面，我们考虑了一类含细胞增生的具渗流扩散的趋化模型的整体解存在性以及一类chemotaxis-fluid 耦合模型的周期解问题，得到了2维有界区域上chemotaxis-Navier-Stokes 模型周期强解的存在性问题及三维chemotaxis -Stokes 耦合模型的周期解。（5）在非线性扩散方程解的渐近行为方面，我们研究了非线性扩散方程尺度解的 极限集与初值的 极限集之间的关系以及非线性扩散方程解的复杂渐近行为，并考虑了Newton渗流方程的解在不同加权 空间中的渐近收敛性。