非线性扩散方程定性研究的一些新问题

The studies in the project comes from some kinds of nonlinear diffusion equations in geometry, physics, biology and other areas, which have profoundly practical background and importantly theoretical significance. First, we investigate two kinds of fast diffusion equations with potentials, removing some restrictions of indexes in potentials, establish critical Fujita exponents and secondary critical exponents, then according to existence and nonexistence of global solutions, we accurately divide the index region, initial value and completely describe the asymptotic behavior of solutions. Next we give the blow-up rate and blow-up set, and analysis the effect of potentials, furthermore we study the complete blow-up and incomplete blow-up phenomenon for non-global solutions and deeply character the law of development of singularity. Finally we establish the exponents of the initial boundary value problem in non-divergence diffusion, then according to existence and nonexistence of global solutions, accurately divide the index region, precisely estimate the blow-up rate and blow-up set, give the blow-up profiles, reveal the characteristic of non-divergence diffusion in the initial boundary problems. The issues involved in this project are some new probelms, and also meaningful probems in mathematical theory and practical application. Innovations in the mathematical idea, methods and skills are expected through these studies in the project.

本项目研究来源于几何、物理、生物以及其它领域的既有深刻实际背景又有重要理论意义的几类非线性扩散方程。首先研究两类带有位势的快速扩散方程，去掉现有研究工作中关于位势的指标限制条件，建立Fujita临界指标和第二临界指标，根据解的全局存在和爆破性对指标区域、初值严格分类，完整地刻画解的渐近性态。其次研究非全局解的爆破速率、爆破集, 分析位势对解的影响，进一步研究完全爆破与非完全爆破, 深刻地刻画解的奇异产生和发展规律。最后研究非散度型扩散初边值问题的临界指标，按解的全局存在和爆破性对指标区域作精确划分，精确地估计爆破速率和爆破集，给出解的爆破模式，揭示非散度型扩散在初边值问题中的特征。本项目所涉及的研究问题是一些新的问题，也是在数学理论和实际应用两方面都有重要价值的问题，通过本项目的研究使我们在研究所需的数学思想、方法和技巧上有所创新和突破。

本项目首先考虑了一类带有非齐次源项的伪抛物方程的柯西问题，研究非齐次项对解渐近行为的影响。 采用新的方法（scaling法），而非传统的自相似上、下解法和能量方法，建立了柯西问题Fujita临界指标，按解的全局存在和爆破性对指标区域做一个精确划分,我们的讨论方法与传统的自相似上、下解法和能量方法相比，简洁很多。因此方法和技巧上有所创新和突破。其次去掉了现有研究工作中一些限制条件，根据解的全局存在和爆破性对初值严格分类，建立了第二临界指标，从而与Fujita临界指标一起完整地刻画解的渐近性态。因此我们结果改善了已有的相关研究成果。因为本项目中涉及的伪抛物方程模型同时出现了非齐次源项和三阶项，所以我们用了较多的分析技巧来克服困难。 最后还研究了非全局解的生命跨度， 给出了其精确的估计。..本项目其次在Dirichlet边界条件下研究了带有一般奇异吸收项的抛物方程组，给出了解在有限时刻熄灭或全局存在的充分条件，在适当的假设条件下，证明该系统只在原点熄灭， 并且熄灭是非同时的。最后还给出了相关熄灭解的熄灭速率。..本项目接着还研究了一类来源于浅水波理论的b系统柯西问题解的爆破和无限传播速率。我们首先给出了精确的爆破准测，然后得到了一些爆破结论，最后证明了具有初始紧支集的解在其生命跨度内不具有紧支集，即解具有无限传播速率。..此外本项目最后还考虑了两类非局部扩散方程，首先在 Dirichlet 边界条件或Neumann边界条件下研究了一类非局部非线性的扩散方程问题. 在适当的假设下，证明解的存在性,唯一性,比较原则,以及解对初边值条件的连续依赖性,并就给定的初边值条件,证明解在有限时刻全局爆破。最后我们还考虑了一类耦合的非局部扩散方程组的柯西问题,建立相应的Fujita临界指标和第二临界指标。相关结果在正在整理和投稿中。..总之、本项目的研究为以后研究工作的扩展与深化奠定了基础。