孤波方程满足多个守恒律的数值方法

Soliton equations which describe the physical systems usually have more conservation laws, but it is difficult to satisfy the multiple conservation laws when people design the numerical methods. The numerical experiments showed that the more conservation laws the numerical methods satisfy the better numerical behavior for long time. So when people design the numerical methods, they are always as much as possible to maintain the conservation laws of the soliton equations. In this project, we develop a numerical method which satisfy multiple conservation laws, we expect to improve the numerical behavior for long time. The method is a type of structure-preserving method, which could keep not only the numerical solution conservation but also the related physical quantitys conservation. The conserved physical quantitys are involved in the calculations, and affects the numerical results which added lots of freedom when we design the schemes. So The error of the numerical solutions will cancel with each other which makes the numerical schemes be super-convergence, and the numerical experiments showed that the results of the develop numerical methods are far better than traditional methods at both the solutions' accuracy and long- time numerical simulation.

孤波方程所描述的物理系统往往具有多个物理守恒律，一般来说设计其数值方法，很难同时保持该方程的多个守恒律，数值实践表明数值方法所能满足的物理守恒律越多，其可靠性和长时间数值行为就越好。因此人们在设计数值格式的时候，总是尽可能多的保持孤波方程的多个守恒律。在本项目中，我们对孤波方程设计了一种满足多个守恒律的数值方法，期望以此改善长时间数值模拟的效果。该类方法是一类具有保结构思想的方法，其格式不仅能保持数值解守恒，也能保持相应的物理量守恒。在格式的构造过程中，这些保持守恒的物理量也作为数值实体参与计算，并且影响着格式的计算过程，由此格式增加了很多自由度，故其数值解的误差会互相抵消，正是这种相互抵消的特点使格式具有超收敛性质,数值实验表明其数值效果无论在解的精度方面还是长时间的数值模拟方面都远胜于传统的方法。

本项目的研究方向是对孤波方程（特别是KdV方程）设计一种满足多个守恒律的数值方法。由于KdV方程是带有三阶导数的非线性方程，因此我们首先考虑三阶线性Airy方程，对其设计了满足两个守恒律的差分格式我们设计的格式是，在这儿不仅要保证数值解守恒，而且要保证数值能量守恒，数值算例表明这种满足两个守恒律的数值方法可以更好地模拟解的结构。在上述工作的基础上，我们将这种方法推广到非线性的KdV方程上去，对其设计一种满足两个守恒律的数值方法，该方法同时要计算数值解和数值能量，数值算例表明，该方法是可行的，并且得到了可靠的数值结果。最后我们将这种满足两个守恒律的思想应用到更一般的孤波方程，即mKdV方程，对其设计满足两个守恒律的方法，采用分裂算子法，将其分成非线性守恒方程部分和三阶线性散射方程部分，将满足两个守恒律的技巧应用到守恒方程部分，对三阶散射方程采用具有二阶精度的中心差分格式，并且通过数值算例，验证了算法的有效性。