Lorentz空间的鞅理论及其应用

本项目属于应用基础理论研究, 将对经典的和非交换的Lorentz鞅空间及其在调和分析和随机过程中的应用作进一步深入的研究, 涉及到的主要内容包括适合各种条件的原子分解及其应用, 加权不等式, 次线性算子的有界性, 空间和算子的内插与外插等. 另一方面， 自从1997年Pisier-Xu的奠基性工作发表以来，非交换概率的重要分支之一非交换鞅论（Noncommutative martingale)得到了迅速发展，正成为国际上新的关注热点. Lorentz空间是一种比Lp更广泛的空间, 在该项目中首次将Lorentz空间与非交换概率结合起来，在Lorentz框架下研究非交换的鞅不等式、 内插、 原子分解、 加权、遍历定理等, 得到的相关结论不仅可以扩展经典的理论而且要发展新的方法和技巧，将对Lorentz空间鞅理论的建立将起着重要的推动作用, 当然也会引出鞅论和调和分析中的其他新问题.

建立了Lorentz空间上的重要鞅不等式，例如Burkholder不等式和Burkholder－Gundy不等式，特别是包括对比Lorentz空间更广泛的重排不变空间下非交换的Burkholder－Gundy不等式；证明了向量值Lorentz鞅空间的嵌入问题，并利用算子值鞅变换的技巧，研究了重排不变空间下的向量值鞅不等式；进一步完善了Loretnz鞅空间的原子分解定理，特别是小指标Lorentz鞅空间的原子分解；通过停时序列构造了一般化的BMO空间，给出了Lorentz鞅空间小指标情况下的对偶，通过对偶定了进一步扩展了著名的John－Nirenberg定理。通过借鉴该课题的一些重要的思想和方法，我们也得到了弱Hardy－Orlicz鞅空间的一些重要结论, 例如我们建立了联系凹函数的弱Hardy－Orlicz鞅空间的原子分解、鞅不等式和对偶定理以及联系凹函数的巨量不等式等；发表标注本项目资助编号的SCI收录的学术论文8篇，另2篇正在审稿中，正如审稿人评价“这对完善现存的鞅理论起到了一个很好的贡献”。