加权Lorentz鞅空间的弱原子分解及其在算子插值中的应用

In this project, we intend to use a equivalent weighted Lorentz space quasi-norm, which is defined in the form of weighted distribution function, and use the method of splitting to establish weak atomic decompositions for three kinds of important weighted Lorentz martingale spaces. We also intend to give a characterization of weighted Lorentz martingale spaces and a very useful equivalent quasi-norm with the aid of atomic decompositions. As applications, we intend to establish a Marcinkiewicz type interpolation theorem and a Moritoh -Niwa -Sobukawa interpolation theorem of martingale version in the frame of weighted Lorentz martingale spaces. Furthermore，we are going to establish some new inequalities for martingale transform operators by using these interpolation theorems. The topic under consideration in this project is a hot problem in the recent research of martingale space theory. It not only enriches the content of martingale space theory, but also provides a new research tool for the study of martingale space theory and its application.

本项目拟利用加权Lorentz空间的关于分布函数形式的等价拟范数，采用剖分技巧对三类重要的加权Lorentz鞅空间建立弱原子分解，并利用弱原子分解给出加权Lorentz鞅空间的特征刻划以及一个非常有用的鞅空间等价拟范数。作为弱原子分解的应用，拟在加权Lorentz鞅空间框架下建立鞅版本的Marcinkiewicz型插值定理和Moritoh -Niwa -Sobukawa 插值定理，并进而利用这些插值定理建立关于鞅变换算子的若干新型加权不等式。该项目的研究内容是最近鞅空间理论研究的热点问题。它不仅丰富了鞅空间理论的研究内容，而且还提供了研究鞅空间理论及其应用的新的研究工具。

本项目的研究背景：作为一种有效的工具，原子分解方法在调和分析和鞅空间理论的研究中发挥着重要作用。原子分解的优点在于不仅给出了许多已知结果的简单证明， 而且还促使发现许多新的结果。 这种“原子化”的研究方法深刻地影响了对函数空间及算子理论的研究， 它给分析学带来了丰硕的成果。.本项目的主要研究内容：对三类Lorentz鞅空间的建立弱原子分解，利用原子分解给出对应鞅空间上的Marcinkiewicz型插值定理。.本项目的重要结果：对三类Lorentz鞅空间和弱Orlicz鞅空间建立了相应的弱原子分解，利用原子分解确定了小指标情形的Lorentz鞅空间的共轭空间，得到了弱Orlicz鞅空间上的Marcinkiewicz型插值定理，建立了Lorentz鞅空间上的Burkholder-Gundy-Davis不等式。.本项目的科学意义：原子分解既是鞅空间理论的研究内容，也是研究鞅空间理论的重要工具。本项目所研究的问题是该领域的热点问题，所得结果进一步丰富了鞅空间理论的研究内容，也为该领域的进一步研究提供了研究手段。