数论函数的算术性质及相关问题研究

The number theoretic function is one of the most widely applied basic concepts in number theory, and many problems in the number theory have been transformed into the discussion of some properties of number theoretic functions. Therefore, it has certain theoretical significance and research value to study. This project mainly studies the properties of number theoretic functions by using the transformation relationship between them, combining with the method of elementary and analytic skills. And the estimation methods of trigonometric sums and its character sums are very effective in analytic number theory, we will further study the properties of various classical number theoretic functions, build a close relationship between some arithmetical functions，give various high-order hybrid mean value formula or identity of the Dedekind sum、Cochrane sum、D.H.Lehmer error term and other number theoretic functions. At that time, we will give a precise formula or asymptotic formula about some number theoretic functions combined with orthogonal polynomials.

数论函数是数论研究中应用最广泛的基本概念之一，数论中的许多问题的研究最终都转化为对数论函数某些性质的探讨，因而其研究工作具有一定的理论意义及研究价值。本项目主要利用一些数论函数之间相互转换的关系来研究它们的性质，结合初等技巧和解析的方法，利用解析数论中十分有效的三角和及其特征和估计方法，将进一步研究经典的数论中的各类和式的性质，以及建立一些数论函数之间的密切关系，并给出Dedekind和、Cochrane和以及D.H.Lehmer问题的误差项等数论函数之间的各种不同的高次混合均值公式或恒等式；研究一些数论函数与正交多项式的联系，给出精确的计算公式或渐近公式。

本项目主要研究一些数论函数及相关多项式的算术性质，涉及一些著名和式的均值估计，以及一些重要的数论函数与一些特殊多项式之间的关联。我们首先利用解析方法研究多项式的特征和和二次三项指数和的混合均值的计算问题，并给出了一个较强的渐近公式；我们运用初等方法和组合方法研究Legendre多项式与线性递推序列的关系，并得到了一些组合恒等式，利用这些恒等式可推出关于线性递推序列乘积和的恒等式；运用同样的方法我们还得到了关于四阶线性递推序列的恒等式；此外，我们还研究了Bell多项式，利用一些特殊多项式与生成函数的关系，得到了Bell多项式的积分多项式、Bernoulli多项式和Euler多项式的恒等式，以及Bell多项式与Stirling数的恒等式。