数论函数的算术性质及相关问题研究

The mean value properties of number-theoretic function have been one of the hot topics in analytic number theory, which are closely related to many conjectures and puzzles in number theory, and are widely applied in cryptography、information、communication and other fields. Most scholars resolve problems by using an arithmetical function, and it does not seem more to make a study on the connection between two arithmetical functions or arithmetical functions and some polynomials. This project mainly focuses on the arithmetical properties of some number-theoretic functions and related problems, that is to give the hybrid mean values of some classical number-theoretic functions, and to explore the connections and the mean value properties of number-theoretic function related to some special orthogonal polynomials. Specifically speanking, this project aims to give the establishments of Dedekind sum and D.H.Lehmer error term, the hybrid mean values or formulas of Dedekind sum and the two-term exponential sum by using the elementary methods、analytic methods and some techniques, combining with Dedekind sum can be converted to Gauss sum and some weighted form of Dirichlet L-function. It is also to construct the relations of Chebyshev polynomial with Dedekind sum、exponential sum、Kloosterman sum other number-theoretic functions.

数论函数的算术性质是解析数论的研究热点问题之一，数论中的很多猜想和难题都与之有着密切的联系，其在密码、信息、通讯等领域中有着广泛的应用。国内外学者大都是单独利用某一类数论函数进行研究问题，而研究两类数论函数或数论函数与特殊多项式之间联系的工作似乎并不多。本项目主要研究一些数论函数及相关问题的算术性质，给出一些经典数论函数的混合均值，同时探索构造数论函数与一些特殊的正交多项式的联系及均值性质。具体来说，本项目旨在利用初等和解析的方法以及一些技巧，结合Dedekind 和可以转换为Gauss 和与Dirichlet L-函数的某些加权形式，建立Dedekind和与D.H.Lehmer问题的误差项，Dedekind 和与二项指数和的混合均值性质或计算公式，同时建立切比雪夫多项式与Dedekind和、指数和、Kloosterman和等数论函数的关系式。

数论函数是数论研究中应用最广泛的基本概念之一，数论中的许多问题的研究最终都转化为对数论函数某些性质的探讨，因而其研究工作具有一定的理论意义及研究价值。本项目主要研究数论中一些经典和式Dedekind和、Kloosterman和、指数和、二项指数和的均值性质均值性质，以及不同的数论函数、特殊多项式与和式的混合均值性质或关系式，同时研究一些特殊多项式或数列的性质，得到了一系列有意义的研究成果。具体来说：研究了一般的二阶线性递归序列生成函数，利用初等方法和一些对称性质来得到其幂级数展开式，从而得到了一些重要的涉及Fibonacci多项式、Chebyshev多项式和Legendre多项式的卷积公式；利用一些特殊多项式的生成函数之间的关系，研究了Bell多项式的积分多项式、Bernoulli多项式和Euler多项式的关系式；运用初等方法以及求和过程的中的对称性，研究了Tetranacci数列的积和式的性质，得到了一些涉及四阶递推序列的关系及一些有趣的恒等式；利用解析方法以及结合二项指数和的性质，研究了多项式的特征和与二项三次指数和的混合均值的计算问题，给出一个较强的渐近公式。