关于混合指数和的均值估计及其应用

The research on the mean value problem involving the hybrid exponential sums are very important and difficult problems in analytic number theory, these content are closely related to many famous number theoretic poblems, and thus its research work has important theoretical significance and research value! However, because the research content involves the overlapping of character sums and trigonometric sums, it leads to the difficulty of the problem is quite large, thus the research progress so far are not very obvious, so further system study the high power mean of the generalized exponential sums and character sums (and their extension form) is still a meaningful work. This project mainly use the analytic methods and the conversion relationship between the generalized exponential sums and Guass sums to study the calculating problems of the high power mean of the generalized exponential sums and character sums, and get some exact computional formulae or sharper asymptotic estimates for them. The main contents include the sixth power mean, eighth power mean and even 2k-th (k>4) power mean of the generalized two-term exponential sums and character sums. We will through the properties of character sums to establish a conversion relationship between the generalized exponential sums and Gauss sums, then line into good properties of these sums used to each other, so as to get some exact computational formulas or sharper asymptotic formulas for these high power mean.

关于混合指数和（也称一般化的指数和）的均值问题研究是解析数论中十分重要而又困难的研究课题,这一内容与数论中许多著名难题密切相关，因而其研究工作具有重要的理论意义及研究价值！然而由于这方面的研究内容涉及到特征和与三角和的混合交叉，从而导致问题的研究难度相当大, 因而至今所取得的研究进展仍不明显，所以对混合指数和的高次均值问题及其推广形式的均值进行深入系统的研究仍是一项很有意义的研究工作。本项目主要利用解析数论中广义三角和与Gauss和的转换关系研究一些特殊形式的混合指数和及特征和的高次均值的计算问题，得到一些精确的计算公式或者较强的渐近估计。主要研究内容包括广义二项指数和对一般合数模q的六次均值，八次均值甚至更高次的次均值。我们将通过Gauss和的性质将特征和与混合指数和之间建立相互转换关系，从而形成这些和式之间性质的相互运用，进而得到这些高次均值对一般模q的一些精确的计算公式!

关于混合指数和的均值问题研究是解析数论中十分重要而又困难的研究课题，这一内容与数论中许多著名难题密切相关，因而其研究工作具有重要的理论意义及研究价值。本项目研究了不同算术函数以及和式之间的本质联系，尤其是关于 Dedekind和、Gauss和、Kloosterman和的一些重要等式与 Dirichlet-L函数之间的关系式。在此基础上研究了混合指数和及特征和的高次均值问题。首先通过特征和与Gauss和的性质研究了不同类型的和式的高次均值问题，给出了包含二项指数和、特征和、二次Gauss和、Kloosterman和、Dedekind和的渐近公式与恒等式。此外，研究了Golomb猜想、整数及其逆的分布等著名数论问题，得到一些精确的计算公式和渐近公式。我们还研究了 Bernoulli多项式、Euler多项式、Fibonacci多项式、Lucas多项式的一些性质，多项式中的Dirichlet特征，得到了一些同余式和恒等式。