数论中一些著名算术函数均值性质的进一步研究

For the arithmetical functions, some of their values are very anomalous, but their mean values have good asymptotic properties which can help us to understand the properties of these functions themselves and provide ideas to many problems to solve. Therefore estimated mean value of arithmetical functions is one of the important topics of number theory research and is indispensable tool to study a variety of problems in analytic number theory. Any nontrivial progress in this field will contribute to the development of analytic number theory. The main purpose of this item is using analytic and elementary method to study the mean values of some famous functions, especially study the hybrid mean value of classic Dedekind sums and Kloosterman sums, the solvability of the exponential Diopantine equations, which can achieve the use of new or existing methods to solve the new or unsolved problems and obtain more general and more profound results.

对于数论函数而言，其中一部分的取值是极不规则的，但是它们的均值却表现出良好的渐近性质, 通过对均值的研究可以了解函数本身的性质，从而给许多问题的解决提供思路。因此算术函数的均值估计是数论研究的重要课题之一，是研究各种数论问题必不可少的工具，特别是许多著名问题都与之相关，在这一领域取得任何实质性进展都将推动解析数论的发展。本项目主要利用解析、初等及分析方法，以数论中某些著名的算术函数的均值作为主要研究对象，尤其是经典Dedekind 和与Kloosterman和的混合均值问题，丢番图方程的可解性问题等。达到利用新的或已有的方法来解决全新的或未被解决的问题，从而获得更为一般和更加深刻的结果。

对于数论函数而言, 其中一部分的取值是极不规则的, 但是它们的均值却表现出良好的渐近性质, 通过对均值的研究可以了解函数本身的性质, 从而给许多问题的解决提供思路. 因此算术函数的均值估计是数论研究的重要课题之一, 是研究各种数论问题必不可少的工具, 特别是许多著名问题都与之相关, 在这一领域取得任何实质性进展都将推动解析数论的发展. 本项目主要利用解析, 初等及分析方法, 以数论中某些算术函数的性质作为主要研究对象, 尤其是经典Dedekind和与Kloosterman和的混合均值问题, Laguerre多项式的性质以及一些丢番图方程的可解性问题. 具体来说, 利用Dirichlet L函数的均值定理和Gauss和以及Dedekind和的性质研究了Dedekind和与Kloosterman和的混合均值, 并获得了一个恒等式; 利用初等和组合方法研究了Laguerre多项式的性质, 证明了一个反演公式, 作为此公式的一个应用, 得到了关于Laguerre多项式的几个恒等式; 证明了指数丢番图方程(am^2+1)^x+(bm^2-1)^y=(cm)^z仅有正整数解; 得到了Lebesgue-Nagell方程x^2+a^2=y^n解的上界; 证明了丢番图方程x^2+(8k-1)^m=(4k)^n仅有正整数解, 并解决了Terai'的猜想. 达到利用新的或已有的方法来解决全新的或未被解决的问题，从而获得更为一般和更加深刻的结果.