加法表示函数及相关加性数论问题的研究

In this project, we will study additive representation functions and related problems in additive number theory. The detailed study of the project are as following: (1) Study additive basis and weighted representation basis in some algebraic structures and their sparsity and density of these basis; (2) Study the properties of Sidon sets and their applications in the research of additive representation functions. In particular, we will use the properties of Sidon sets to study the monotonicity properties of additive representation functions; (3) Characterize some regular properties of additive representation functions and their generalizations. In particular, we will focus on the additive properties of representation functions for some multilinear forms. These research contents have had very important impact in additive number theory. The project team has some accumulation in this field, the related research results have been published in Acta Arith., J. Number Theory, Proc. Amer. Math. Soc., Discrete Math., and so on. The expected results will further enrich the study of additive number theory.

本项目拟将研究加法表示函数及相关加性数论中的若干问题.具体有以下几方面的研究内容：(1)研究一些代数结构中的加法基和加权表示的加法基及其稀疏度和稠密度问题；（2）研究Sidon集的性质及其在加法表示函数研究中的应用, 特别是利用Sidon集的性质研究加法表示函数的单调性；（3）刻画加法表示函数及其推广形式的一些常规性质，特别关注一些多重线性型的表示函数的加法性质。这些研究内容在加性数论中占有十分重要的地位.项目组在此领域已有一定的工作积累，相关研究结果已发表在Acta Arith., J. Number Theory, Proc. Amer. Math. Soc., Discrete Math.等期刊上. 预期成果将进一步丰富加性数论的研究内容.

本项目主要研究加法表示函数及相关加性数论问题，已完成了预定目标。 项目执行期间，项目负责人汤敏入选安徽省学术与技术带头人，项目组已公开发表标注基金资助的论文26篇，其中被SCI收录21篇；项目在研期间，3名硕士获得研究生国家奖学金，有7名硕士生毕业并或硕士学位，现有在读硕士生7名。.主要研究成果如下：(1) 加法基 本项目的研究丰富了有关Erdös-Turán猜想的研究内容：令k为大于等于2的固定的正整数，本项目证明了对任何正整数u, 存在一个k阶基A且表为A中k个数之和的表法为k!u的自然数密度为1；研究了整数集和有理数域上的双基问题；在极小渐近基上展开系列研究并解决了Nathanson的一个公开问题。(2) 加法表示函数 本项目研究了自然数集及模m剩余类加群上的分拆及相应的加法表示函数，特别关注了交非空的自然数集的分拆及相应的表示函数，部分解决了陈永高和Lev关于自然数集的分拆的一个问题。(3) 加性数论问题 我们还研究了模m剩余类加群中单位平方与非单位平方的加性问题。本课题组解决了Tao在文[A remark on primality testing and decimal expansion, J. Austral. Math. Soc. 3(2011), 405-413]提出的一个问题。