若干分拆函数及秩函数的算术性质

Integer partition is a classical topic in number theory and combinatorics. In the study of the theory of partitions, people frequently use the theory of q-series and modular forms. In this project, we mainly consider some partition functions and rank functions that have drawn much attention in recent years. The partitions we will investigate include the regular partitions, k-colored generalized Frobenius partitions, and partitions related to mock theta functions. We will explore and prove some new congruences modulo primes or arbitrary powers of primes for these partition functions. Meanwhile, we will also investigate some rank functions such as Andrews’ odd ranks. We expect to obtain the generating functions of these rank functions modulo some integers. Based on these formulas, we will further explore new properties of these ranks and their moments.

整数分拆是数论和组合中的一个经典课题，其研究通常用到q级数理论和模形式理论。本项目主要考虑近些年备受学者关注的几类分拆函数和秩(rank)函数，通过研究其生成函数来探讨它们的算术性质。我们将研究以regular分拆、k-colored generalized Frobenius分拆以及与mock theta函数相关的分拆为代表的几类分拆函数，发现并证明这些分拆函数满足的模素数和素数任意次幂的同余式。同时，我们也将研究以Andrews定义的odd rank为代表的几类秩函数，期望获得它们按固定模分类后的生成函数的公式，并从这些公式出发研究它们满足的算术关系以及这些秩函数的矩的性质。

整数分拆是数论和组合中的一个经典课题，其研究常用到q-级数理论和模形式理论。本项目围绕整数分拆及相关的q-级数、模形式课题开展研究，取得了丰富的研究成果。在整数分拆方面，我们给出了k-色广义Frobenius分拆生成函数满足的一些模素数次幂的同余式，考虑了经典分拆生成函数的分数次幂级数展开后系数的算术性质，这些系数后来被称为分数分拆，我们证明了分数分拆满足的一系列同余式。在秩函数方面，我们研究了分拆中奇秩函数的算术性质，解决了美国科学院院士G.E. Andrews 2007年发表在Invent. Math.上的论文中的两个公开猜想；借助圆法，给出了分拆理论中由F. Garvan定义的bicrank函数差的渐近估计，证明了它满足的一些不等式关系。 同时，由于整数分拆和秩函数与mock theta函数密切相关，我们也对mock theta函数进行了系统的研究，给出了建立mock theta函数的Appell-Lerch和式或Hecke型级数表达式的统一方法，这一方法适用于大多数经典mock theta函数，并用类似方法，证明了一些全新的Hecke型级数恒等式。进一步，借助mock theta函数的各种表达式，我们研究了mock theta函数系数的奇偶性，对于44个经典mock theta函数，我们证明了其中21个的偶系数密度为1。借助于模形式理论，我们也证明了S.H. Chan 2012年提出的一个关于Appell-Lerch和式系数的同余式猜想。此外，我们还对本项目研究内容进行了一定的拓展，在数论与组合数学中的多个课题，如1/π-级数、多重调和和式满足的同余式、排列统计量等问题上取得了有意义的研究成果。..在本项目支持下，我们在《Advances in Mathematics》、《Advances in Applied Mathematics》、《Journal of Number Theory》、《Acta Arithmetica》、《Ramanujan Journal》等学术期刊上发表和接收论文16篇。