具有序乘法基代数的同调理论

The aim of this project is to investigate the homological theory and the corresponding representation theory of algebras with ordered multiplicative bases by the Gr?bner basis theory. Specifically, to calculate the basis and the Hochschild cohomology group of a kind of special Ginzburg algebra using the Gr?bner basis theory. Then we want to obtain the Gr?bner basis theory for algebras with more general ordered multiplicative bases and get "Diammand Lemma". And get specific representations of projective modules and some projective resolution by the computability of Gr?bner bases, moreover, to investigate all kinds of homology functor, homology group and cotorsion theory. At last, we hope to investigate some problems of reprsentation theory, for example, representation dimension, tilting theory, triangulated category, derived equivalence, the criterion of Calabi-Yau algebras and the character of cluster property.

本项目拟在有序乘法基的代数上，利用Gr?bner 基理论来研究这类代数上的同调理论及其相应的代数表示论。具体地，拟采用Gr?bner 基理论来计算一类特殊的Ginzburg代数的基和Hochschild上同调群；接着，在更一般的序乘法基代数中建立Gr?bner 基理论，得到"Diammand引理"；然后，利用Gr?bner 基的可计算性，给出这类代数的投射模的具体表达形式以及某些(双)模投射分解，并借此研究这类代数上的各种同调函子、同调群和余挠理论；最终希望借助这些同调不变量来研究此类代数上的一些表示论问题，如表示维数，倾斜理论，三角范畴，导出等价,Calabi-Yau代数的判别、cluster性质的刻画。

Green 在2000年给出的序乘法基代数是Basic代数在非Artin 下的一种形式，因此我们在非Artin 非Basic 的代数上已经引入了一种更一般的序乘法基，并在这类代数上建立了广义的Gabriel 定理，即有此序乘法基的代数是相应的广义路代数的商。在此，我们主要研究了一些具有序乘法基的代数——广义路代数、路环、N=1箭图代数上的同调理论。在本项目期间，我们的主要研究内容是：.1. 刻画了序半群代数的性质，并构造了序半群上的箭图，从而得到了序半群代数上的Gabriel 定理 并利用广义路代数，对于箭图上的一族序半群，得到了一个新的序半群；.2.计算了 N=1 箭图代数（一类特殊的Ginzburg代数）的基，并计算了这类代数的第零个Hochschild 上同调群；.3.构造了一些一般路环上的倾斜表示，从而得到了各种导出等价，并给出了构造有相同自同态环的不同的表示的方法；.4.在广义路代数上构造了一些新的余挠对，刻画了广义路代数上的投射和内射表示；.5.给出了路环作为自身上的模的极小内射分解，并证明了K-Gorenstein 性在三角矩阵环下是保持不变的；.6.给出了一个模在smash 扩张下余挠维数的上限和下限的计算公式，并给出了代数的余挠维数在这一扩张下的关系；.7.证明了交叉积下的模的FP-投射维数与扩张前的代数上的模的FP-投射维数是一致的，从而得到FP-投射维数的在Cleft 扩张下是不变的；.8.对于右整体Ding投射维数有限的环，得到一个完备的遗传余挠对，同时介绍了一种新的导出函子，并利用该导出函子研究了环上的Ding同调维数。