基于群方法的多体散射结构解析波函数的构建

群论，作为近代数学的一个重要分支，在物理、化学等领域得到了越来越广泛的应用。将群论运用于电磁散射场领域属于开创性事业。本研究分为两个层面。第一、针对具有对称结构的散射边界。根据边界对称特点，例如单体结，两体或多体对称结构，构造出它们所对应的群，构造出所对应的正规表示。利用离散群的约化方法，根据大正交定理和特征标定理，将正规表示约化成不可约表示的直和，在约化的同时，即群空间的新基底也会随之表达成原基底的线性叠加。由于约化能够体现出结构的对称特性，故新基底能够包含边界的对称信息，可以有效减少基波函数的阶数，也就最大限度减少了计算机存储和节约了运算时间。第二、对于整体上并无对称性的散射边界结构。处理的方法为：通过对称性破缺的手段，将散射结构分为最大对称性部分和较小的微扰部分。对称部分仍然通过群方法获得基波函数。对微扰部分的散射场，利用上述基波函数展开，通过迭代的方式获得。

T-matrix方法计算电磁散射问题的显著优点是：散射体的对称特性可以表示为T矩阵的对称性；T矩阵公式只与散射体的形状、尺寸和材料属性等内部因素有关，与坐标系的选择、空间布局、入射场方向等外部因素无关。群论是系统地研究对称性的有效工具，目前已广泛的应用到物理的各个分支：量子论、高能物理、相对论、原子与分子物理、晶体物理等。本研究拟解决基于群方法的多体散射问题，对于T-matrix方法，多体散射问题的T矩阵公式不过是各单独散射体的T矩阵公式的线性组合，因此，本研究选择基于群论的T-matrix方法在对称结构电磁散射问题中的应用作为关键切入点，从以下几个方面来展开进行：第一，通过研究T-matrix方法与解析解的一致性问题，系统地论证了利用散射体的几何对称性能使T矩阵公式约化的理论基础和可行性；第二，研究了用GIM技术和R-FDTD技术这两种常规手段来处理对称结构的电磁散射问题，以便跟用群方法处理问题比较而显示出群方法的优越性；第三，系统地研究了群论在对称结构电磁散射问题中的应用，开创性地提出了两种途径来达到约化目的：1）利用群的不可约表示理论将散射问题的Q矩阵分块对角化，并由此得到同样是分块对角矩阵的过渡矩阵（T矩阵），这样，在数值计算中Q矩阵求逆后变成病态矩阵的问题能得到有效的解决，而且在保持较高精度的前提下可以极大的节约运算时间和存储；2）直接将群元算子作用到T矩阵公式中，通过分析得到：T矩阵中有部分矩阵元等于0，T矩阵中0以外的其他矩阵元之间有关系（相等或只差一个负号），通过算例的对比，在进行数值计算时该方法能节约大量的运行时间和存储。