多体Dirac-Coulomb方程的显相关波函数方法

How to solve the many-body Dirac-Coulomb equation efficiently and accurately is the core of relativistic quantum chemistry. Based on the new relativistic electronic coalescence condition discovered in our group, we will analyze, develop and implement the explicitly correlated wavefunction method for the many-body Dirac-Coulomb equation. Centering on such relativistic coalescence condition, we will construct new correlation factors, compare the strategies for removing the contaminations of negative energy states and study efficient iterative methods for resulting algebraic eigenvalue problems. In order to verify and improve the explicitly correlated wavefunction method, we will analyze rigorously the two-body problem and investigate both the spectral structure and the space for eigenfunctions. Finally, we will try to answer the open problem "Does the two-body operator have square integrable eigenfunctions?" with the help of corresponding limit problem as the distance of electrons goes to zero.

求解多体Dirac-Coulomb方程是相对论量子化学的核心问题。基于我们最新发现的相对论Coalescence条件，本项目将开展多体Dirac-Coulomb方程显相关波函数方法的分析、设计和实现。围绕这个Coalescence条件，将寻找新的相对论显相关因子，研究负能态污染的去除方案以及设计相应代数特征值问题的快速迭代算法。为了验证和完善相对论显相关波函数方法，还将开展两体问题的数学理论研究，包括分析其谱结构和特征函数空间。从两电子之间距离趋于零的极限问题出发，将尝试解决"两体问题是否有平方可积特征函数"的公开问题。

项目负责人按照申请书和计划书的约定，主要围绕狄拉克方程（相对论效应）和魏格纳方程（核量子效应）在数学理论和算法设计两个方面开展了系统性的研究，属于计算量子力学领域的前沿基础性课题。在本项目的支持下，已完成的研究工作包括：1) 基于相对论性电子融合条件给出了实现相对论性显相关波函数方法的两种方案；2) 给出了非线性狄拉克多峰孤波峰数的上界估计，揭示了多峰结构会破坏孤波稳定性，也讨论了其在外力作用下的动力学行为，发展了相应的集体坐标（collective coordinate）模型；3) 结合谱方法和特征线法，首次实现了四维相空间内高精度量子动力学模拟；4) 严格给出了多体魏格纳方程分枝随机游走算法的数学理论，并且基于加权粒子提出了一类新的实现方案，可以克服已有实现方法对时间步长的依赖进而使得精度有明显提升；5) 阐述了图 1-Laplacian 特征向量的局域结构，发展了相应的谱聚类算法。所取得的成果大部分已在国际核心期刊（如Advances in Mathematics, SIAM Journal on Scientific Computing, Journal of Computational Physics等）上正式发表，共计 13 篇，另有 3 个章节收录于学术专著《Handbook of Relativistic Quantum Chemistry》中，部分工作得到了国内外同行的认可和应用。本项目的研究内容生动体现了连续与离散、确定与随机的对立统一。