半对偶化复形与Gorenstein 同调理论

The notion of semidualizing complexes and corresponding Auslander class and Bass class were introduced by Avramov , Foxby and Christensen in their study of homological properties of ring homomorphisms. homological theory of semidualizing complexes is one of the main object in the study of relative homological algebra. It has a profound connection with classical homological algebra and Gorenstein homological algebra. In this project, we mainly investigate the homological properties of semidualizing complexes over non-commutative Noetherian rings and the related problems. First of all, we shall provide some relations between homological properties of semidualizing complexes (modules) and Gorenstein dimensions of complexes( modules); secondly, using the compactly generated properties of homotopy categories, duality pairs and cotorsion theories, we shall further study the existence of Gorenstein projective( pre)covers and Gorenstein injective (pre)envelopes in (co) module categories; Finally, we shall explore the Gorenstein derived categories theory in comodule categories, moreover, we shall also discuss the Gorenstein global dimension of coalgebras.

交换环上半对偶化复形的概念以及相应的的Auslander 类和Bass 类是由Avramov， Foxby 和 Christensen 在研究环同态的同调性质时引入的。半对偶化复形的其同调理论已经成为相对同调代数的重要研究对象之一，它与经典同调代数和Gorenstein同调代数都有非常深刻的联系。本项目致力于非交换诺特环上的半对偶化复形的同调性质以及相关问题的研究。首先，我们研究半对偶化复形（模）的同调性质以及与复形（模）的Gorenstein 维数之间的关系； 其次，我们利用同伦范畴的紧生成性，对偶对以及余挠理论研究（余模）模范畴中Gorenstein投射（预）盖和Gorenstein内射（预）包的存在性；最后，我们将在余模范畴中开展Gorenstein导出范畴理论的研究并探讨余代数的Gorenstein整体维数。

交换环上半对偶化复形的概念以及相应的的Auslander 类和Bass 类是由Avramov， Foxby和 Christensen 在研究环同态的同调性质时引入的。半对偶化复形的其同调理论已经成为相对同调代数的重要研究对象之一，它与经典同调代数和Gorenstein同调代数都有非常深刻的联系。本项目致力于非交换诺特环上的半对偶化复形的同调性质以及相关问题的研究。首先，我们研究半对偶化模的同调性质以及与模的Gorenstein 维数之间的关系，同时探讨强可分扩张下的不变性质，如Gorenstein维数，表示型等； 其次，我们研究了一类特殊Gorenstein 模的稳定性，作为应用，得到了与Gorenstein 内射，投射，平坦模相关的新的模型结构，上述模型结构在复形范畴中有类似结论。最后，我们研究了如何利用已知的模型结构构造新的模型结构以及如何构造新的投射和内射余挠对，证明了域上半完全余代数上Gorenstein内射包的存在性，同时我们还给出了一类滤过量子代数的特殊的子空间与子代数之间的关系与性质，以上结果丰富和发展了相对同调，模型结构以及Hopf 代数相关理论。