导出范畴中复形的Gorenstein同调理论

The main object of this project is to study Gorenstein homological theory of complexes over local ring homomorphisms in the derived category. Firstly, we will study G-dimension of complexes with respect to a semi-dualizing complex over local ring homomorphisms, generalizing the Auslander-Bridger formula for G-dimension and giving some characterizations of semi-dualizing complex by finiteness of G-dimension. Secondly, we will study Gorenstein injective dimension of complexes over local ring homomorphisms, generalizing the Bass formula for Gorenstein injective dimension and giving some characterizations of Gorenstein ring as an application. Thirdly, we will study the relationship between Gorenstein injective dimension and Krull dimension of complexes. Finally, we will study Auslander-Buchsbaum type depth and width formulas in a relative situation and give some new sufficient conditions for Auslander-Buchsbaum type depth and width formulas to hold via vanishing of Tate (co)homology. Moreover, we will consider some applications of Auslander-Buchsbaum type depth and width formulas in G-dimension,Gorenstein injective dimension and CI-dimension. The study of this project will play an improtant role to know all kinds of relative homological invariants well, giving some homoloical characterizations of rings described by complexes and enriching relative homological algebra further.

本项目主要研究导出范畴中局部环同态上复形的Gorenstein同调理论。首先， 研究局部环同态上复形相对于半对偶复形的G-维数，推广关于G-维数的Auslander-Bridger公式并刻画半对偶复形；其次，研究局部环同态上复形的Gorenstein内射维数，推广关于Gorenstein内射维数的Bass公式并给出Gorenstein环的一些刻画； 再次，研究复形的Gorenstein内射维数与复形的Krull维数之间的关系；最后，研究相对情形下的Auslander-Buchsbaum型深度和宽度公式，利用Tate同调（上同调）给出Auslander-Buchsbaum型深度（宽度）公式成立的新的充分条件，进而考虑其在G-维数、Gorenstein内射维数、CI-维数中的应用。本项目的研究对于掌握复形的各种相对同调不变量，给出环的由复形表述的同调性质，进一步丰富相对同调代数具有重要意义。

Gorenstein同调代数在相对同调代数中占用重要地位。本项目主要研究局部环同态上复形相对于半对偶复形的G-维数；局部环同态上复形的Gorenstein内射维数；Auslander-Buchsbaum型深度和宽度公式；有限维数与限制内射维数的关系；无界复形在基变换下的Gorenstein同调维数；Gorenstein投射模，Gorenstein内射模和Gorenstein平坦模与Auslander范畴的关系。给出了局部环同态上复形相对于半对偶复形的G-维数的Auslander-Bridger公式以及利用局部环同态上复形相对于半对偶复形的G-维数的有限性给出了半对偶复形的一些新的刻画；利用Tate上同调给出了关于Gorenstein内射维数的一个应用；给出了Auslander-Buchsbaum型深度和宽度公式成立的一些充分条件；给出局部环同态上复形的Gorenstein内射维数的Bass公式和关于局部环同态上的Gorenstein内射维数的稳定性结论并刻画了Gorenstein环；给出了局部环同态上的Gorenstein内射维数与复形的小限制内射维数的关系；给出无界复形在基变换下的Gorenstein同调维数的稳定性结论；利用Auslander范畴给出了Gorenstein投射模，Gorenstein内射模和Gorenstein平坦模在交换诺特环下的新的刻画。本项目的研究对于掌握复形的各种相对同调不变量，给出环的由复形表述的同调性质，进一步丰富相对同调代数具有重要意义。