相对于半对偶模的 Gorenstein 同调维数理论

The main object of this project is to study the Gorenstein homological dimensions with respect to semidualizing modules. Based on the Gorenstein projective, injective and flat model structures relative to a semidualizing module C over a ring R and the cotorsion theories accordingly, we will find more covering and enveloping of modules in the relative homological algebra. We also will give the relative Bass numbers, relative Betti numbers, depth and width of C-Gorenstein homological modules by relative Ext functors. The Bass formular for C-Gorenstein injective dimensions will be obtained by the study of C-Gorenstein projective, injective dimensions of complexes over local ring homomorphisms. As applications, we will resolve Takahashi Conjecture for C-Gorenstein injective dimensions and give some new characterizations of Gorenstein rings and Cohen-Macaulay rings. The study of this project will play an important role to know all kinds of the relative homological invariants, giving some homological characterizations of rings described by complexes, enriching and developing the relative homologica algebra further.

本项目主要研究相对于半对偶模的 Gorenstein 同调维数理论。我们将从环 R 上相对于半对偶模 C 的 Gorenstein 投射、内射和平坦 Quillen 模型结构及与其相应的余挠理论出发，发掘相对同调代数中更多的覆盖模类和包络模类；利用相对 Ext 函子给出关于 C-Gorenstein 同调模类的相对 Bass 数、相对 Betti 数、深度和宽度等更多的数量指标；通过研究局部环同态上复形的 C-Gorenstein 投射、内射维数，给出关于 C-Gorenstein 内射维数的 Bass 公式，解决关于 C-Gorenstein 内射维数的 Takahashi 猜测，以此给出 Gorenstein 环及 Cohen- Macaulay 环的一些新刻画。本研究对于掌握复形的多种相对同调不变量，给出环的由复形表述的相对同调性质，进一步丰富和发展相对同调代数具有重要的意义。

本项目主要研究相对于半对偶模的Gorenstein同调维数理论。具体研究内容为：C-Gorenstein投射、内射和平坦Quillen模型结构及与其相应的余挠理论；利用模的深度、宽度和相对Bass数、相对Betti数给出C-Gorenstein同调维数的新刻画；利用局部环同态研究存在具有有限C-Gorenstein内射维数的循环模的环。.目前研究目标已按计划基本实现。到目前为止，本项目已公开发表学术论文12篇，其中SCI论文7篇，培养硕士2名。.我们研究了复形的相对于半对偶模的Gorenstein同调维数和Tate(上)同调及相对(上)同调，得到了联系Tate(上)同调函子和相对(上)同调函子的Avramov-Martsinkovsky 型正合序列。特别地，在一类特殊环上对分别具有有限Ding 投射维数、Ding 内射维数的模，证明了Avramov-Martsinkovsky 型正合序列的存在性。研究了环扩张下的Gorenstein平坦模型结构及其同伦范畴。确定了在Auslander类A(R) 和Bass类B(R) 之间的Foxby等价函子的作用之下，DP(R)∩A(R) 与DI(R)∩B(R) 的对应模类。利用Cartan-Eilenberg投射、内射与平坦复形对很多经典环类给出了新的刻画。.这些结论给出了复形的更多的相对同调不变量，并对研究环的由复形表述的相对同调性质起到了非常重要的意义。同时我们的研究还从模范畴进一步延伸到一般的复形范畴。