Faa di Bruno 公式的差商形式及若干推广和应用

This project aims to establish a divided difference version of Faa di Bruno's formula, its generalizations and extended forms, then to apply them to numerical approximation problems. Our research is divided into the following four parts: (1) We will employ the chain rule of divided differences to establish a general form of Faa di Bruno's formula for divided differences of a composite function in the form of Jablonski's matrix identity, which leads to the explicit expression for the divided differences of integer iteration functions and various generalizations and extensions; (2) We will establish an explicit formula for the divided differences of inverse functions and implicit functions; (3) We will establish a divided difference version of Faa di Bruno's formula for multivariate functions; (4) Making use of the divided difference version of Faa di Bruno's formula and its extended forms we will provide an effective method to solve the problem of the error estimations of curve and surface interpolation and their numerical differentiations under saturated approximation. This project is an interdisciplinary research of algebraic combinatorics and numerical analysis, which will provide a theoretical basis and new methods for the development and innovation of numerical analysis.

本项目拟建立差商形式的Faa di Bruno公式及其推广和扩展形式，并应用于数值逼近问题，主要围绕下列四个具体目标展开研究：（1）通过差商的链式法则，以Jablonski矩阵恒等式的形式建立求复合函数高阶差商的Faa di Bruno公式的一般形式，并导出整数次迭代函数的高阶差商的显式公式以及各类推广和扩展；（2）建立差商意义下的反函数和隐函数的高阶差商的显式公式；（3）建立多元复合函数的差商形式Faa di Bruno公式；（4）利用差商形式Faa di Bruno公式以及它的拓广形式为解决数值计算中饱和逼近下曲线、曲面插值和数值微分的误差估计问题提供新的有效的方法。本项目的研究把代数组合与数值计算两个不同的方向进行交叉，为数值计算的发展和创新提供理论基础和新的方法。

Faà di Bruno公式作为代数组合学的一个重要公式其主要作用是解决复合函数的高阶求导问题，建立高阶导数的链式法则。本项目主要研究了Faà di Bruno公式及其推广形式以及它们的若干应用：（1）利用Faà di Bruno公式及其相关的组合工具，结合差商、插值等数值逼近中相关的理论和技巧解决了一类二元递归序列的显式表达问题,提供了新的计算方法；（2）在一元差商意义下的Lagrange-Burmann反演公式基础上，从矩阵分解及矩阵恒等式角度和无穷级数理论角度研究多元的Lagrange-Burmann反演公式，借此研究反函数的高阶差商显式公式和Faà di Bruno公式的扩展形式；（3）利用Faà di Bruno公式及其推广解决了特殊函数逼近问题中一类指数函数与其导数互相线性表示的问题，并解决了该类函数高阶求导和卷积问题；（4）研究了几何逼近问题中一类有理Bezier曲线、有理B样条的多项式逼近问题以及Bezier曲面逼近问题；（5）利用Faà di Bruno 公式结合差商算子研究了有理恒等式及其q模拟问题，为有理函数逼近提供了新的研究工具。本项目的研究把代数组合与数值计算两个不同的方向进行交叉，为两个方向的发展和创新提供了理论基础和新的方法。