非线性算子方程变号解的局部与全局特性

近年来，因其物理、生物背景的重要性与数学意义的深刻性，非线性算子方程变号解的研究正逐渐成为热点．本项目的主要目标是在适当的紧性与变分结构下，探索非线性算子方程变号解的局部与全局特性．内容有：(一)拟结合半序理论、拓扑度理论与临界点理论等方法研究非线性算子方程变号解的存在性与局部信息，如局部度数、Morse指数以及临界群等.预期利用已有解的局部信息结合非线性算子的大范围性质来得到更多的正解、负解以及变号解.(二)拟研究各个解之间的关系，如序关系、各自存在性之间是否有蕴涵关系等. 以此为基础，试图给出几个解的构造性的存在定理，从而为求解提供一些算法，如通过下降流来建立解的迭代程序.(三)拟利用分歧理论研究含参数的非线性算子方程解集的结构对参数的依赖与分歧现象，探讨变号解的全局特性.(四)拟研究一类梁方程．以前述所获结果为基础，我们预期为一类梁方程建立一些正解、负解与变号解的存在性与多重性定理.

本项目研究非线性算子方程变号解的存在性与多解性、Shannon采样重构慢收敛、直觉模糊集上的三I方法以及NURBS参数曲线收敛性等问题。所获主要结果有：(1)应用下降流不变集、半序与亏格理论, 建立了关于非线性算子方程变号解存在性的若干定理，并将抽象结果用于一类梁方程正解、负解与变号解的存在性与多重性：(i)通过在正锥、负锥中构造下降流不变集，建立了存在一正解与一负解的定理。(ii)当非线性项在原点次线性，无穷远处满足超二次条件时，建立了存在一正解、一负解以及一变号解的定理，与文献相比，我们直接在L2空间中构造开集，不必引入嵌入L2空间的C空间，避免了因L2空间的正锥没有内点，使用bootstrap技巧的复杂性。(iii) 在非线性项具有对称性的条件下，建立了无穷多个变号解的存在定理，与文献中限定存在无限多对上下解相比，我们的条件更加自然且更易验证。(2)Shannon采样定理指出, 带限信号可由其Nyquist率离散采样准确重建．然而，因其重建公式收敛速度慢，在实践中并不好用．因此，在理论上迫切需要知道，对于全体带限信号，该公式究竟有多慢．我们从重建算子序列的角度研究了Shannon重建的收敛速度．利用线性算子列的慢收敛理论，证明了Shannon重建由一列任意慢收敛的算子组成．具体地，对于任意极限为零的正数列，不论其收敛速度有多慢，总存在带限信号f, 其主级数第n个截断误差的Lp范数大于前述数列中的第n项．不仅如此，还证明了，当使用基于过采样的加速技巧后，收敛速度仍是“几乎任意慢”的，即过采样加速技巧并不能从整体上加快重建算子列的速度．这一似乎令人沮丧的结果从理论上指明了Shannon重建序列的局限，因而具有深刻意义。 (3)模糊取式(FMP)与模糊拒取式(FMT)是模糊推断中的两个基本推理模型, 三I方法是解决FMP 与FMT问题的一种重要方法．利用剩余型蕴涵，将三I方法推广到直觉模糊取式(IFMP)直觉模糊拒取式(IFMT)上，并给出了相关的算例．在此基础上，考察了IFMT三I方法的还原性，对某些剩余型直觉蕴涵的局部还原性给出了充分条件．此外，还提出了IFMT的alpha-三I方法。(4)利用拓扑同胚思想，探讨了NURBS曲线关于某个权因子的收敛性，得到了逐点但非一致收敛、一致收敛以及L1收敛的结论．这些结论部分地澄清了NURBS曲线收敛性理论中的一些困惑。