非线性算子方程的变号解及其应用

本项目将研究非线性算子方程的变号解及其应用。众所周知，解的非唯一性是非线性算子方程的固有困难之一。本项目的主要目标是探索在适当的紧性与变分结构下，非线性算子方程变号解的存在条件与多解条件。内容有：（一）拟结合半序理论、拓扑度理论与临界点理论等方法研究非线性算子方程变号解的存在性与局部信息，如局部度数、Morse指数以及临界群等。预期利用已有解的局部信息结合非线性算子的大范围性质来得到更多的正解、负解以及变号解。（二）拟研究各个解之间的关系，如序关系、各自存在性之间是否有蕴涵关系等等。以此为基础，试图给出几个解的构造性的存在定理，从而为求解提供一些算法，例如通过序关系来建立解的迭代程序。（三）拟研究含参数的非线性算子方程解集的结构对参数的依赖与分歧现象。（四）拟研究一类梁方程。以前述所获结果为基础，我们预期为一类梁方程建立一些正解、负解与变号解的存在性与多重性定理。