具有正旗曲率的齐性Randers空间的结构及其相关问题研究

In this item, we will give a complete classification of homogeneous Randers spaces with positive flag curvature. The flag curvature is a natural extension of the sectional curvature in Riemannian geometry. One of the fundamental problems in Finsler geometry is to determine the Finsler metrics of positve or negative flag curvature. On the study of Randers spaces by Lie groups and Lie algebras in the item, we will present the construction of homogeneous Randers spaces with positive flag curvature and give the classification of Randers metrics of positive flag curvature on given homogeneous pace under isometries. Besides the isometry group and some related geometric properties are also considered. This item will result in a large class of Finsler spaces with non-constant positive flag curvature, which has important theorial meaning to the study on the curvature of Finsler spaces.

本项目拟给出具有正旗曲率的齐性Randers空间的完全分类。旗曲率是黎曼几何中截面曲率在芬斯勒几何中的自然推广。确定具有正或负旗曲率的芬斯勒度量是芬斯勒几何的一个基本问题。本项目利用李群李代数研究Randers空间，拟给出具有正旗曲率的齐性Randers空间的构造，并给出给定齐性空间上的具有正旗曲率的Randers度量的等距分类。进一步，本项目将考虑具有正旗曲率的齐性Randers空间的等距群及相关几何性质。本项目将找到一大类具有非常旗曲率的正旗曲率的芬斯勒空间，对芬斯勒空间的曲率研究有重要的理论意义。

曲率研究是芬斯勒几何的一个基本问题。 本项目主要研究一类特殊芬斯勒流形——齐性Randers流形上的正旗曲率，得到一些重要结果。首先我们推导出齐性Randers空间上的不依赖于局部坐标系的旗曲率公式和Ricci曲率公式。我们证明了齐性Randers流形是Ricci二次型当且仅当它是Berwald流形的结果。利用旗曲率公式，我们给出SU（2）上一些具有正旗曲率的左不变Randers度量。通过对正旗曲率齐性芬斯勒流形的分析，我们得到正旗曲率的齐性Randers 流形的一些性质。 通过微小扰动，我们得到很多具有正旗曲率的齐性Randers空间的例子。本项目对齐性芬斯勒流形的曲率研究有重要的参考作用。