紧型齐性空间的整点问题

丢番图方程的整数解问题是数论的核心问题之一。申请人研究由代数群的齐性空间定义出的丢番图方程，且此代数群在无限除子处是紧李群，我们称这类方程为紧型方程。对于代数群在无限除子处是非紧李群情形，最近已被彻底解决(参见[4])。紧型方程的求解比非紧型方程的求解要困难得多，例如代数群的强逼近定理对于紧型方程不再直接成立。申请人通过加入某些选定的有限除子来扩大无限除子集合，利用扩大除子集合的强逼近定理，以及代数群的单连通覆盖群，Galois上同调理论，Brauer-Manin障碍和descent方法来研究此类丢番图方程。

丢番图方程的有理解和整数解问题是数论的核心问题之一。对某些特殊的丢番图方程，它满足Hasse准则和弱逼近。然而因为众所周知的Brauer-Manin障碍的缘故，Hasse准则和弱逼近并不一直成立，而且也有例子表明Brauer-Manin障碍对有理点和整点的存在也不总是充分的。那么一个自然的问题是：对哪些丢番图方程，Brauer-Manin障碍对有理解的存在是充分的？申请人在这三年的时间里，证明了Brauer-Manin障碍是环面的齐性空间的整点存在的唯一障碍，并把这个理论应用到二元二次型的情形，得出了一系列的结果。申请人的第二方面的结果是在有理解方面，对norm-环面和multinorm-环面，证明了他们满足Hasse准则和弱逼近；对一类非常经典的fiber族， 证明了Brauer-Manin障碍是有理点存在的唯一障碍。