小波系统的齐次逼近性质

随着小波分析在信号处理、图像采集、数据压缩等领域越来越多的应用，小波系统的逼近性质越来越受到人们的重视。小波框架的齐次逼近性质意味着用有限项重构一个函数时所产生的误差在时间-尺度平移下是不变的，因此它在截断误差估计中具有重要应用。同时，它在一定程度上揭示了离散小波框架不存在Nyquist密度现象的原因，这一直都是近年来国际上的研究热点。对此性质的深入研究必将进一步解决这个热点问题。本项目从L^2 空间里小波系统的齐次逼近性质出发，主要研究以下三个问题：一、L^p空间里连续小波变换的齐次逼近性质；二、L^p空间里离散小波系统的齐次逼近性质；三、L^p空间里Gabor系统的齐次逼近性质。通过对以上问题的研究推动 L^p空间信号逼近理论的发展以及截断误差的估计，并进一步揭示Nyquist密度现象。

本项目大体按计划进行，致力于L^p(R^d)空间小波变换的齐次逼近性质，离散小波系统的齐次逼近性质以及Gabor系统的齐次逼近性质。本项目对这些问题给出了深刻的研究，探索了小波系统和Gabor系统的齐次逼近性质，为L^p(R^d)空间里信号的逼近以及进一步揭示Nyquist密度现象打下基础。本项目研究的是一系列的问题，目前初步完成了L^p(R^d)空间小波变换的齐次逼近性质，与项目参与人刘锐博士给出L^p(R^d)空间上平移系统的upper Beurling稠密度刻画(发表在SCI期刊 Banach Journal of Mathematical Analysis)，这进一步揭示了Nyquist密度现象以及L^p(R^d)空间小波变换的齐次逼近性质。同时，对于L^2(R^d)空间，还进一步研究了改进的Nyquist-Shannon不规则采样定理(与天津大学宋占杰教授等合作，发表在信号与信息领域的SCI，EI双检索期刊，IEEE Transactionsons on Information Theory)。项目主持人会继续项目课题的后续研究，努力解决这一系列备受国际关注的科研问题。