非齐次迭代函数系统中的热力学机制

In many mathematical problems, inhomogeneous problems always exhibit more results than homogeneous ones. In homogeneous iterated functional systems, there are a lot of works to compute the Hausdorff dimension of attractors with some disjoint conditions. However, in image compression area or even in the nature, there are abundant examples which are inhomogeneous fractals. This project is based on fractal geometry, dynamical system and ergodic theory. We will study the relationship with the Hausdorff dimension of self-similar fractals with overlap structure between topological pressure in thermodynamical formalism under inhomogeneous settings, in other words, the Bowen’s equation. Variational principle is the premise to verify the Bowen’s condition. So we first study the pressure with overlap structure under inhomogeneous IFS, then construct proper measures to prove variational principle and check Bowen’s equation.

在很多数学问题中，非齐次问题是比齐次问题更为丰富的一种情形。在齐次迭代函数系统，已经有许多的工作来计算具有某种分离结构的吸引子的Hausdorff维数。而在图像压缩等领域甚至于自然界中都已经出现了大量非齐次分形的例子。本项目将以分形几何、拓扑动力系统、遍历理论为基础，通过理论分析和实际案例相结合的研究手段，研究在非齐次迭代函数系统下，具有重叠结构的一类自相似分形的Hausdorff维数与热力学机制中的拓扑压之间的关系，也就是Bowen方程。变分原理是验证Bowen方程的前提，因此我们的工作将首先致力于在非齐次迭代函数系统下具有重叠结构的拓扑压的研究，随后构造出合适的测度来证明变分原理并且验证Bowen方程。

非齐次迭代函数系统理论是经典迭代函数系统理论的推广。齐次吸引子的维数在很多时候是压函数的零点。而非齐次吸引子可以表示成齐次吸引子并上轨道集，这个轨道集由某个紧致集合C不断迭代生成。因此非齐次吸引子的构造比齐次吸引子更加复杂。本项目主要研究了在非齐次迭代函数系统中的吸引子的维数公式。我们首先在齐次迭代函数系统中考虑了带有指数扰动的共形映射，得出了Bowen方程。随后我们在非齐次迭代函数系统中也考虑了有界扰动和弱分离条件这两个性质，得出了非齐次吸引子的上盒维数等于压函数的零点和C的上盒维数这两者的较大值。从而推广了Bowen方程。在考虑下盒维数的公式时，由于下盒维数维数更小，所以目前我们只能对一类特殊的集合C来进行证明。最后，我们对方块进行取舍构造出了一类满足公式的集合C。这一结果丰富了分形几何的理论和实用价值。