L1空间上角度傅里叶变换性质的研究

The study of Fourier transform is the basic problem of harmonic analysis. The angular Fourier transform is one of the generalized forms of Fourier transform. It is widely used in signal processing, cryptography, optics and other disciplines. However, the properties of the angular Fourier transform are rarely systematically studied on L1 spaces. The purpose of this project is to study the properties of the angular Fourier transform on L1 spaces. It includes: to establish the semi-group property and strong continuous property of the angle Fourier transform on L1 spaces; In this paper, the properties of the compound transformation of the angular Fourier transform with the derivative operator and the multiplication operator in the time and frequency space will be established; The properties of convolution associated with the angular Fourier transform on L1 spaces will be established. These properties not only reveal the inherent nature of the angular Fourier transform on the angular rotation, but also extend the properties of the classical Fourier transform and enrich the theory of generalized time-frequency analysis.

傅立叶变换的研究是调和分析的基本问题，角度傅里叶变换是傅里叶变换的广义形式之一，在信号处理、密码学、光学等学科均有广泛应用，但角度傅里叶变换的性质在L1空间上鲜有系统研究。本课题旨在研究角度傅里叶变换在L1空间上的性质。具体包括：拟建立L1空间上角度傅里叶变换关于角度的半群性质和强连续性质；拟建立L1空间上角度傅里叶变换分别在时间和频率空间上与求导算子和乘法算子的复合变换的性质；拟建立L1空间上与角度傅里叶变换相关的卷积的性质。这些性质不仅揭示角度傅里叶变换对角度旋转的内在本质，也是经典傅里叶变换性质的推广，丰富广义时频分析理论。

本项目针对角度傅里叶变换，也叫分数次Fourier变换，围绕其性质及其应用展开研究。本项目 建立了可积函数空间上角度傅里叶变换关于角度的半群性质和强连续性质；建立了径向多变量函数的 分数次Fourier变换低维空间到高维空间之间的递推关系式，把原本的积分运算转化为微分运算，使得本项目的研究成果应用到计算上更加有效率；定义了与分数次Fourier变换有关的一类更广义的分数阶导数及分数阶积分，建立了一类新的分数阶微积分理论，并通过分析与此类更广义的分数阶导数有关的分数次复杂网络，得到了更多样的动力学现象。本项目首次在L1空间上系统的研究角度傅里叶变换对角度的可加性质以及连续性，并引入径向分数次Fourier变换，得到了其从高维底空间到低维底空间上的降维性质，为径向多变量函数的傅里叶变换的计算提供新的更有效的计算方法。另外，定义并研究了一类更广义的分数阶微积分理论，此理论应用到分数阶微分方程组，为分数次复杂网络的动力学分析提供新思路、新方法。.本项目是结对访学交流项目，项目计划进行的学术活动、学术研究、人才培养都基本上按计划完成任务。本人在项目进行期间，发表1篇学术论文，另有2篇学术论文投稿待发。协助结对导师举办了一个国际学术会议，邀请了10多人次的同行学术报告，联合指导培养2位硕士生1位博士生。