全纯的 Morrey 空间与 Q 空间上的算子理论

This project is dedicated to exploring holomorphic Morrey spaces and Q spaces and their operators, which is a hot topic in several complex variables, harmonic analysis and operator theory. We will focus on holomorphic Campanato-Morrey spaces and Q spaces. These two classes of spaces are closely related. Their significance appears in many aspects of math. We are going to investigate the related properties and relevant operator theories, including (weighted) composition operators, Toeplitz operators, Riemann-Stieltjes operators, point multipliers. We would solve the Littlewood-Paley characterization and Carleson embedding of Morrey spaces on the ball. The boundedness, compactness, essential norms, spectra of (weighted) composition operators on Morrey and Q spaces will be discussed. Also, the conditions for bounded and compact Toeplitz operators and Riemann-Stieltjes operators on these spaces will be investigated.

本项目致力于研究全纯的 Morrey 空间与 Q 空间以及这两个空间上的算子理论，属于多复变函数论、调和分析、算子理论中的前沿热点问题。我们将研究单位圆盘和单位球上全纯的 Campanato-Morrey 空间与 Q 空间这两类关系密切且有极其重要意义的函数空间的相关性质，并研究这两类函数空间上相关的(加权)复合算子、Toeplitz 算子、Riemann-Stieltjes 算子、点乘子等重要算子的一些关键的性质，包括有界性、紧性、差分、谱等。我们拟解决单位球上 Morrey 空间的 Littlewood-Paley 刻画、Carleson 嵌入等重要的函数空间性质；拟给出这两类空间上(加权)复合算子的有界性、紧性、本性范数、谱等重要的算子特征的刻画和Toeplitz 算子、Riemann-Stieltjes 算子的有界性、紧性等。

本项目属于多复变函数空间与算子理论领域，是结合泛函分析和调和分析等领域的方法，解决全纯函数空间与算子理论中的相关问题。主要研究了单位圆盘和单位球上的 Campanato-Morrey 空间和 Q 空间以及其它一些相关的函数空间（例如 Bergman 空间、 Besov-Sobolev 空间、 Dirichlet 型空间、 F(p,q,s) 空间等）的相关性质（等价范数刻画、Carleson 测度、日冕定理、插值序列等）和这些空间上的算子的性质刻画（复合算子、Riemann-Stieltjes 算子等的有界性、紧性、Hilbert-Schmidt 范数等），主要结果包括给出了单位球内 Carleson 管和 Bergman 度量下的球上的 Campanato-Morrey 空间的等价刻画；给出了单位圆盘上 Campanato-Morrey 空间和一类 F(p,q,s) 型空间之间的关系，完全刻画了这类 Campanato-Morrey 空间到一类 F(p,q,s) 型空间的 Riemann-Stieltjes 积分算子的有界性和紧性，证明了一类 Mobius 不变的空间上日冕定理成立，并给出该空间上插值序列的刻画； 证明了单位球上一类对数 Carleson 测度是 Besov-Sobolev 空间的 Carleson 测度；给出了 Bergman 空间上复合算子的 Hilbert-Schmidt 范数计算公式等函数空间与算子理论中的重要结果。这些结果对全纯函数空间与算子理论以及相关的领域有着重要的理论意义。本项目资助下已发表论文5篇、另有3篇论文正在投稿，还有一些结果正在整理和撰写论文。