随机相场动力学模型不确定性量化的高精度数值方法

Nonlinear phase field kinetics models and their numerical simulations play an important role in material science and engineering fields, and the dynamic behavior of which is the crucial factor controlling the stability, structure and properties of materials. The development of reliable mathematical methods for uncertainty quantification of such models becomes a great challenge. In this project, we investigate high order numerical methods for uncertainty quantification in the stochastic nonlinear phase field kinetics model. On one hand, we develop several high efficient algorithms with non-increasing energy, mass conservation, good stability, large time step size and strong flexibility properties and provide numerical analysis for these new algorithms by using orthogonal polynomials Galerkin projection methods, stochastic collocation methods and probabilistic radial basis function methods. On the other hand, by using operator splitting method, dimensional splitting method and preconditioning technique, robust and powerful iterative algorithms and solver are designed to reduce the computational cost for solving the discrete system. Finally, we design the parallel programs with dissipative structures in order to achieve large scale numerical simulation. Then spatial-temporal pattern formation of complex fluids and its morphology evolution can be analyzed deeply and systematically. Thus, the numerical analysis and algorithm design for stochastic phase field kinetics models are of great importance. Furthermore, we provide the new research approaches to develop the nonlinear scientific research and apply to the computational fluid dynamics in the materials science and engineering technology.

非线性相场模型在材料科学和工程领域中扮演着极其重要的角色，其动力学行为是影响材料结构、性能及其稳定性的关键因素，而对其不确定性量化的数学方法已成为具有挑战性的难题。本课题主要研究带有随机参数输入的非线性相场动力学模型的高精度数值方法及其理论分析。一方面，基于正交多项式Galerkin投影方法、随机配置方法以及概率径向基函数方法等，提出若干能量非增、质量守恒、稳定性好、大时间步长计算、适应性强的高效算法，并给出相应的数值分析。另一方面，结合算子分裂方法、维数分裂方法以及预条件处理技术等，设计出强健的非线性迭代格式和求解器，降低求解离散系统的复杂度，使其具有保耗散结构的性质，实现在高性能计算机上的大规模数值模拟，从而得以系统分析复杂流体相场动力学行为的时空图样生成及其形态演化过程。这一研究课题无论从计算理论还是从算法设计上都具有重要意义，研究成果将为非线性科学的研究和发展提供新的研究途径。

针对随机相场动力学模型，我们设计出若干高效高精度数值算法求解高维Allen-Cahn（Cahn-Hilliard）方程以及耦合Navier-Stokes方程模型等，包括考虑含随机输入参数以及定义在封闭曲面上等情形，空间采用有限元方法，有限体积方法，径向基函数方法，谱方法等，时间离散采用高阶隐显格式、自适应时间步长格式等。一方面我们运用算子分裂方法、交替方向隐式方法、质量集中方法等技巧，提出能量非增、稳定性好、质量不变、大时间步长计算、适应性强的高精度全离散算法，给出了相应的数值分析。另一方面结合残量校正方法、稳定化方法等设计出强健的非线性格式求解器，降低了求解离散系统的复杂度。进一步，我们提出差分有限元方法求解三维偏微分方程模型，包括Possion方程、热传导方程以及Stokes方程等，建立了严格的误差分析。上述研究成果为非线性科学的研究和发展以及计算流体力学在工程技术中的应用提供了新的研究途径。部分研究成果已达到国际先进水平。相关研究成果以48篇论文发表在国内外著名学术期刊上，包括MCOM、SISC、CMAME、IJNME、JCP、IJHMT等。2020年“热耦合流体模型的高效高精度保物理性质算法研究”获得自治区科技进步一等奖。项目组成员进行了广泛的学术交流，共参加学术会议60余次；项目执行期间一共培养硕士10名，培养博士4名。总之，研究工作按照申请计划书顺利进行，并根据实际情况作了适当调整，圆满完成各项任务。