相场数学模型及相关数学问题高精度数值方法

In this project, all factors of numerical methods, including mesh generation, refining, coarsening and moving, discretizations for both spatial and temporal variables, nonlinear iterative methods and nonlinear multigrid methods, will be studied in an integrated fashion for mathematical models of phase fields and related mathematical problems, where corresponding properties of these problems will be fully explored. The final aim is to develop new numerical methods with both high accuracy and less complexity for this class of problems, and establish their mathematical theories. In particular, this will lead to new adaptive finite element methods for nonlinear singularly perturbed problems of high order in high dimension, high accurate and robust nonlinear iterative and multigrid methods, adaptive time stepping methods with large steps, properly chosen initial guesses for nonlinear iterative methods. Finally, these high accurate methods will be combined with fast algorithms for meshes generation of high quality and superconvergence to design numerical methods of high accuracy for time and parameter dependent nonlinear problems.

本项目拟根据相场数学模型及相关数学问题本身的特性，将网格剖分、加密和粗化、移动，时间和空间离散方法，非线性迭代方法和非线性多重网格方法等作为一个有机整体来研究，发展这类问题精度高、计算复杂度少，且具有数学理论支持的新型数值方法。这包括研究高维高阶非线性奇异摄动问题新型自适应有限元方法，设计高效、鲁棒非线性迭代方法和非线性多重网格方法，发展大步长时间自适应方法，研究非线性迭代方法的初值选取，并将这些高效算法和高质量网格生成快速算法与超收敛有机结合，获得非稳态参数相关强非线性问题高精度算法。

课题组针对相场数学模型及相关数学问题，在相场问题建模和高精度离散算法及其应用、线弹性力学问题新型混合有限元方法、Allen-Cahn/Cahn-Hilliard方程时空自适应有限元方法、非线性迭代法和多重网格方法、相关数值算法的集成及软件开发等方面开展研究。针对非周期系统，我们开展了非公度多尺度相场晶体模型的建模和计算方法研究，构造了高效的投影算法，并将其应用到了准晶结构的形成机理和热力学稳定的研究；对任意多个化学组分的高分子体系，我们建立了一种具有良好数学性质的自洽场模型，并发展了一套系统的高效算法，包括初值选取、高效的时空离散、以及非线性迭代算法。针对线弹性力学问题，提出一个两步法的稳定性分析方法，构造出了以多项式为形函数、应力对称、有最优收敛阶的稳定混合有限元方法，设计了其自适应与快速算法，并建立了相应的数学理论。针对相场模型的Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程，发展了自适应时间分裂有限元方法和基于超收敛和重构技术的自适应有限元方法。针对大规模离散代数系统，设计了预条件迭代法，分析了GMRES收敛性与Ritz值和调和Ritz值的关系，构造出对应任意收敛曲线和容许调和Ritz值集的线性系统；得到了随机拓展的Kaczmarz方法、Gauss-Seidel方法的收敛性界和收敛率。建立了超材料介质中电磁波传播的时域数学模型及高效数值模拟算法。发展了能够保持偏微分方程特征的高精度离散方法。基于Python语言开发了开源有限元软件包FEALPy：Finite Element Analysis Library in Python，已经实现了各种类型的网格数据结构、网格生成与优化、任意次的 Lagaragian 有限元空间、任意次的二维虚单元空间、离散代数矩阵组装求解及可视化等丰富的基础功能模块。