Fourier局部化方法在流体动力学方程中的应用

The object of this project is to applying the harmonic analysis such as microlocal analysis, Littlewood-Paley theory, the functional analysis especially the Fourier localization analysis methods to study the mathematical theory of the fluid mechanics equations: (1) the global well-posedness of the 3D incompressible Navier-Stokes equation for the initial data with the general energy; (2) the well-posedness and ill-posedness of the compressible Navier-Stokes equations, for example: the global well-posedness for the velocity initial data with slow varying in certain direction, the global well-posedness of the complete Navier-Stokes equation with the highly oscillating initial data, the ill-posedness in certain critical space, the well-posedness for the vacuum density; (3) the well-posedness and ill-posedness of the liquid crystals equation with Leslie stress. It is hope that the Fourier localization analysis methods applied in the fluid mechanics equations can be further developed by the implementation of this project.

本项目主要利用调和分析方法诸如微局部分析、Littlewood-Paley理论、函数空间理论等特别是Fourier局部化方法来研究若干流体动力学方程中的数学问题：(1)三维不可压缩Navier-Stokes方程具有大能量初值的整体适定性等；(2) 可压缩Navier-Stokes方程的适定性和不适定性，如: 当速度场初值在某些方向慢变时的整体适定性，完全Navier-Stokes方程高振荡初值的整体适定性，在某类临界空间的不适定性，包含密度真空状态时的适定性；(3) 含Leslie张量的液晶方程组在临界空间中的适定性和不适定性。希望通过本项目的实施，进一步发展流体动力学方程中的Fourier局部化方法。

本项目主要利用调和分析方法诸如微局部分析、函数空间理论等特别是Fourier局部化方法来研究若干流体动力学方程中的数学问题，做出了一系列具有创新性的结果，主要如下：1.建立了二维不可压缩Euler方程在Yudovich型空间和bmo型空间内建立了解的整体存在性和唯一性，在Spanne类空间中得到了解的整体正则性并得到了得到了具有bmo型空间中解的涡量公式的最优化估计形式；2.开发了不可压缩分数次Navier-Stokes方程的 Oseen 核一些新的估计，并将其应用在自相似解的最优衰减估计中；3.建立了某类推广的二维准地转方程弱解的存在性和正则性；4.证明了二维无阻尼的磁流体在两类水平方向周期域中的整体适定性和二维仅具有分数次磁耗散的磁流体方程的粘性极限；5. 建立了不具阻尼的Oldroyd-B方程临界空间的适定性和爆破准则；6. 证明了某类趋化Navier-Stokes方程大能量初值的解的存在性；7. 研究了3D非齐次不可压缩Navier-Stokes方程密度补丁的正则性延拓问题。通过本项目的实施，在国际著名学术期刊上发表论文10余篇，进一步发展了流体动力学方程中的Fourier局部化方法。