调和分析在Bedrosian等式和非线性Fourier分解中的应用

为了深入地理解和研究信号的内在特征，需要研究信号的不同表示形式。传统的表示方法有Fourier分解，小波分解等。1998年，美国工程院院士N.E.Huang及其合作者在算法上提出了一种新的分解模式，该方法能将复杂信号分解为一系列的本征模态函数之和。根据此算法提出的理论基础和信号分解中存在的问题，本项目将利用调和分析中的相关结论研究如下问题：（1）研究Bedrosian等式H(fg)=fHg在时域上的结构刻画，构造满足此等式的函数类；（2）研究带宽有限解析信号保持幅度不变和带宽不变的条件；（3）构造满足上述条件之一且满足瞬时频率非负的解析正交基, 探讨其与Fourier级数的联系与区别，最终实现信号的算法分解和应用。该项目属于交叉性研究课题，所得结论不仅丰富了数理科学和信息科学的理论知识，而且有应用到工程、地球物理学、医学、生物学等学科的广阔前景。

为了更好的理解和表示一个信号，我们通常将信号进行不同的分解，最经典的分解是Fourier分解。最近，根据解析信号与Hardy空间中的函数的联系，研究者找到了一组满足瞬时频率为正的有理解析正交基， 这组基本质上是Fourier级数的推广，被称为有理Fourier级数。 为了更好地理解这组有理解析正交基，我们研究了满足瞬时频率为正的有理Fourier级数与Fourier级数的联系与区别，具体如下：（1）我们研究了有理Fourier级数的逐点收敛性问题，得到了类似Fourier级数逐点收敛性判断的Dirichlet-Dini条件和Jordan条件；（2）我们给出了有理Fourier级数和共轭有理Fourier 级数在有界变差条件下的收敛速度估计，得到了类似于Fourier级数的Dirichlet-Jordan 定理和W. H. Young 定理的一个数量刻画. 最后, 证明了这两个定理在调和有界变差条件下也成立；（3）另外，我们也给出了有理Fourier系数的收敛阶估计。当f为周期的有界变差函数时，其有理Fourier系数的阶为O(1/n) 。类似的， 我们研究了推广的各类有界变差函数的有理Fourier系数的收敛阶级问题，比如P-有界变差，有界变差等；（4）我们证明了有理Fourie级数是L^p空间的一组Schauder基， 单位圆和实轴上被同时处理了。.此外， 利用后移和前移不变子空间, 我们给出了解析信号与共轭解析信号的乘积仍为解析信号或共轭解析信号的充要条件。作为上述结论的应用，我们考虑了当f或者g为带宽有限解析信号时，Bedrosian等式H(fg)=fHg成立的条件，也给出了带宽有限解析信号保持带宽不变的条件。