流体动力学方程中若干问题的研究

本项目主要研究现代物理学中出现的几类重要的流体动力学方程。拟采用调和分析方法诸如微局部分析、Fourier频谱局部化技术、Littlewood-Paley理论、Bony仿微分运算、函数空间理论等来研究如下的数学问题。(1)三维不可压缩Navier-Stokes方程解的奇性结构，寻找具有大能量初值的整体光滑解的存在性等；(2)研究具有部分粘性的MHD方程：弱解的整体存在性，光滑解爆破准则，二维带部分粘性MHD方程的整体适定性；(3)临界QG方程弱解的唯一性和接近超临界情形时光滑解的整体存在性。(4)三维完全可压缩方程大能量初值的整体适定性，等熵Navier-Stokes方程弱解的唯一性和正则性问题。希望通过本项目的实施，增加对流体动力学的数学理解并做出一定的贡献。

本项目借助于现代调和分析的理论, 特别是如微局部分析,Fourier频谱局部化技, Bony仿微分运算术, Littlewood-Paley理论,函数空间理论等等研究流体动力学方程:如可压与不可压Navier-Stokes方程,Euler方程,磁流体方程等相关方程的Cauchy问题解的存在性及Bolw-up机制所, 取得的主要研究成果如: 1.建立了三维不可压缩的微极流体的在临界Besov空间的适定性问题；2.得到了微极流体Logarithmic型的改进的正则性判别准则。3. 得到了二维不可压缩Euler–Boussinesq系统大初值的整体解的唯一性，特别对非衰减的初始涡度也建立了解的唯一性, 对于二维零粘性系数而热传导系数依赖温度的Boussinesq系统建立了大初值的整体适定性。4.对于正压型的可压缩Navier-Stokes方程，当初始密度和速度场分别属于临界Besov空间得到了关于范数在有限时间内无限膨胀意义下的不适定性，同样对于三维带粘性的热传导可压缩流体也建立了类似不适定结果。5.建立了超临界聚合方程在临界Besov空间中的小初值的整体存在性和大初值的局部存在性等等。