动理学方程解的逐点估计与初边值问题

The kinetic equations are used to describe the statistical behavior of a system made up of many particles. They build the bridge between microscopic molecular dynamics and macroscopic continuum mechanics. They are of significant value both in theory and practice. This project aims at the quantitative study of the fine structures of several kinetic equations. The main purposes are three folds: 1. Obtain the spatially asymptotic behavior of the solutions to the Boltzmann equation and the Landau equation in whole space; 2. Construct the Green’s function for hard potential Boltzmann equation and obtain the space-time pointwise estimate of the nonlinear problem; 3. Study the pointwise behavior of the Boltzmann equation with physical boundary. The results will contribute to a better understanding of how microscopic interaction influences the structure of the solution, how fluid-like wave and particle-like wave interact with each other, and how the interior fluid-like wave interacts with the Knudsen boundary layer. These quantitative pointwise results are not only important in mathematical theory, but also powerful tools in understanding physical phenomena. Moreover, they have potential to be widely applied in practical engineering.

动理学方程描述了大量粒子运动的统计规律，联结了微观粒子动力学和宏观连续介质力学，在理论和实践上有重要价值。本项目拟研究几类动理学方程解的精细结构，包括：全空间Boltzmann方程、Landau方程的空间渐近行为；全空间hard potential Boltzmann方程格林函数的构造，以及非线性问题的时空逐点估计；还将探讨Boltzmann方程在物理边界条件下解的逐点行为。以上研究将帮助理解微观粒子作用机制对解时空结构的影响、动理学方程中流体结构与粒子结构的相互作用、边界层与内部流体的相互作用等。这些研究内容不仅在数学上具有重要的理论意义，还是定量描述物理现象的有力工具。另外，它们与工程实践也紧密相关，有广泛的应用前景。

在本项目中，我们着重研究动理学与可压缩流体方程解的定量行为。结果反映了动理学方程中所蕴含的流体与粒子结构，以及可压缩流体的双曲抛物耦合机制与边界行为。具体而言，我们的研究可分为三个方面：（1）全空间Boltzmann方程的时空渐近行为；（2）可压缩Navier-Stokes(NS)方程具有有界变差扰动问题弱解的大时间行为；（3）可压缩NS方程半空间初边值问题解的逐点估计。针对Boltzmann方程，通过谱分析、奇异-正则分解、加权能量估计等办法，得到了解的时空渐近行为，揭示了解的大时间行为由流体主导，而空间渐近行为取决于微观相互作用以及初始的速度权。特别地，我们还对非常软势建立了空间正则化机制，推广了硬球模型下的经典结果。对于可压缩NS方程的BV扰动问题，通过BV系数热核以及常状态格林函数的精细估计，建立了弱解的适定性、大时间行为、以及弱解的时空逐点估计，给出了弱解的定量刻画。关于可压缩NS方程半空间的初边值问题，在扰动具有正则性的假设下，结合高阶能量估计以及线性化问题的格林函数，我们建立了解的时空逐点估计，对NS方程的边界效应给出了清楚刻画。以上研究均是从更定量的角度给出非线性方程解的描述。它们之间又相互关联，可压缩Navier-Stokes方程初边值问题的研究将会给Boltzmann方程初边值的研究奠定基础，而Boltzmann方程的结构比流体方程反映了更多的微观层面的信息。