时变LQ/H∞最优控制系统的高精度保辛数值算法研究

控制领域的数值算法已成为制约控制器设计与实现、影响控制理论发展与应用的一个重要因素。兼顾保辛和高精度的要求是目前时变LQ/H∞最优控制系统数值算法设计中的关键问题之一。本项目针对此问题进行研究：1）结合精细积分方法和Hamilton正则变换,构造时变矩阵微分Riccati方程和Lyapunov方程的保辛摄动算法，并扩展应用于时变LQ最优控制相关计算问题；2）结合保辛摄动算法和扩展Wittric-Williams算法，构造时变H∞控制系统的最优H∞范数的高精度保辛算法；3）根据周期系数的特点和计算结构力学与最优控制的模拟理论，构造适用于周期时变LQ/H∞最优控制系统的高效、稳定的改进保辛摄动算法。在以上研究基础上，开发出时变最优控制系统的算法工具箱。从而为时变LQ/H∞最优控制系统建立起一套系统的高精度保辛摄动算法和计算工具，也将为非线性最优控制系统的数值算法设计提供有益的参考。

时变LQ/ H∞最优控制系统具有Hamilton体系的特征，其控制系统的设计与数值求解算法的构造都应该保持原有的结构。本项目基于Hamilton正则变换、精细积分方法、区段混合能理论和扩展Wittric-Williams算法，开展了时变LQ/H∞最优控制系统设计和求解的高精度保辛数值算法研究。主要研究内容包括：1）基于区段混合能理论和精细积分方法，系统推进了利用不同终端约束和终端状态估计信息进行有限长时间时变LQ控制器和滤波器设计和数值算法的研究，并结合扩展Wittric-Williams算法应用于时变H∞控制系统；2）提出了时变控制系统滚动时域控制的高效保辛算法。滚动时域控制需要快速求解线性时变Riccati微分方程，从而不断更新最优控制律。本项目基于正则变换和区段混合能理论提出了一种高效的在线拆分-合并实时更新算法，计算效率相对于传统的Backward Sweep方法提高了一个数量级；3）基于扩展精细积分方法构造了求解时变非线性微分方程的改进的Adams线性多步法，大大提高了传统算法的数值精度和稳定性；4）利用所引入的Lagrange乘子是常数的本质，构造了含终端等式约束LQ时变控制的两区段形式的终端控制器，避免了传统控制器在靠近终端区段时反馈增益矩阵过大、甚至奇异的缺点；进一步利用区段混合能理论中的能量矩阵，构造了终端控制器的矩阵Riccati微分方程组和时变LQ终端控制系统状态微分方程的闭合解，大大提高了时变终端控制器求解和仿真的效率。