齐性空间上的调和分析

Harmonic analysis on homogeneous spaces and representation theory of Lie groups are based on the classical theory of Fourier serie and Fourier transfrom. They interacts with many branches of mathematics and theoretical physics. For instance, they have profound impact on number theory via automorphic forms and Langlands program. We propose to use the recently developed techniques of Dirac operators and Dirac cohomology in Lie theory to study following problems in harmonic analysis on homogeneous spaces: .1. Determine the Dirac cohomology of unitary highest weight modules and related branching laws; .2. Study the gemetry and function theory of seversal complex variables on the domain of hermitian symmetric spaces; .3. Study the invraint theory and the geometry of coadjoint orbits and geometric quantizations.

齐性空间上的调和分析和李群表示论是在经典调和分析的基础上发展起来的，.它与数学领域中许多重要学科以及理论物理都有着密切的联系，例如通过自守形式与Langlands纲领它对当今数论的发展产生了深远的影响。 本项目拟用李群表示论中的Dirac算子和Dirac上同调的方法研究齐性空间一类调和分析问题。具体包括：.1.确定最高权酉表示的Dirac上同调进而得出branching law；.2.Hermite 对称空间上的多复变函数和球面函数；.3.不变量理论和轨道空间的几何问题以及几何量子化问题。

Harish-Chandra对半单李群离散序列表示的分类以及他的Plancherel公式的证明是20世纪数学最伟大的成就之一。20 世纪70 年代Parthasarathy、Atiyah、Schmid等人使用Dirac 算子来构造离散序列表示，他们发现离散序列可以由作用在对称空间的旋量丛上的Dirac 算子的核来构造； 90 年代，对于约化李代数及其相对应的Clifford 代数上的Dirac 算子，Vogan 猜想Harish-Chandra模的无穷小特征标的标准参数与Hariah-Chandra 模的Dirac 上同调的无穷小特征标的标准参数在Weyl群下共轭。进入21世纪，该猜想由Pavle Pandzic与我一起证明，这以后Dirac上同调在表示论近些年的发展中一直发挥着积极的作用。..本项目继续研究Dirac上同调，考虑了它在经典分歧律、上同调诱导、Langlands纲领内窥理论和几何量子化中的应用：借助K-特征标与不变量理论，我们推广了Littlewood-Richardson公式；通过我们建立的上同调诱导模与Dirac上同调的关系，把有非零Dirac上同调的温和(tempered)不可约酉表示进行了分类；通过把传递因子写成关于Dirac指标的公式，我们验证了Langlands纲领内窥理论的一个重要结论；通过对半单李群及其紧的Cartan子代数确定的辛流形进行几何量子化，建立了Dirac上同调与几何量子化的关系，我们证明了得到的表示是酉表示，对这个酉表示进行了正交分解，并且确定了它上面的离散序列结构。通过研究Klein 4-子群，为对称空间的分类提供了一个新的视角。我们研究了有理Cherednik代数（rational Cherednik algebra）的李代数上同调，扩充了半Dirac算子（half-Dirac operator）的Vogan猜想，证明了对应的Casselman-Osborne定理。.通过上述工作，我们把Dirac上同调应用到了Langlands纲领、几何量子化等当前的焦点问题上，为这些问题的解决提供了一种思路。