非齐性流形上的一些调和分析问题

In the setting of manifolds with non-doubling measure, we study Hardy-Littlewood maximal functions, Riesz transforms and Littlewood-Paley functions, etc.

在一些非齐性流形上，我们研究Hardy-Littlewood极大函数、Riesz变换以及Littlewood-Paley函数等问题。

本项目的成果主要涉及如下几方面：.1..Riesz 变换. （1）我们在一些体积指数增长流形上研究了Riesz变换及相关的Littlewood-Paley-Stein算子的端点估计。（2）在倍测度流形上，我们发现热核次高斯估计并不是Riesz变换弱(1, 1)有界的必要条件。（3）通过研究Carnot齐次群上Riesz变换积分核的下界进而用Riesz变换交换子来刻画BMO空间，特别地将Coifman-Rochberg-Weiss定理扩充至直步群框架下；同时也在Carnot齐次群上引入旋度算子的定义并用于div-curl引理的研究。 这项工作与Coifman-Lions-Meyer-Semmes1993年JMPA关于补偿紧的工作密切相关。.2..热核. 我们重新考虑了各向同性以及各向异性海森堡群上热核。我们给出了各向同性海森堡群上热核最佳估计的一个新证明；也得到了各向异性海森堡群上热核当时间为1时在无穷远处的渐近展开以及高阶偏导的最优估计，这一结果导出热核最优估计以及小时间渐近展开，特别地解决了 Beals-Gaveau-Greiner 2000 年 JMPA 一文中遗留的一个问题。.3..次黎曼几何. 通过引入了一个新的方法用于研究二步李群上的 Carnot-Caratheodory 度量，该方法也可用于最短测地线、Cut locus、热核等相关课题的研究。特别地，这一工作与一个长达四十多年的公开问题----Gaveau-Brockett最优控制问题密切相关，给出了一个必要条件及部分回答。