图代数塔的Grothendieck群上的代数结构

Diagram algebras, as an important class of study objects in algebra, have great theoretical and practical importance in statistical mechanics, quantum field theory and knot theory. Lots of towers of diagram algebras have rich algebraic structures on their Grothendieck groups. Hence, the framework of towers is a powerful tool in realizing the categorification of classical algebras. This project emphasizes the towers of diagram algebras which are closely related to the theory of Schur-Weyl duality, such as the towers of the Temperley-Lieb algebras, Brauer algebras and partition algebras. We will investigate the algebraic structures on the Grothendieck groups of the towers of algebras by studying the representations and homologies, involving the structures of associative algebra, coalgebra and Hopf algebra. Moreover, we will study the Grothendieck groups of the towers defined by an axiomatic manner.

图代数作为代数学中重要的研究对象，在统计力学、量子场论以及扭结理论中有着很强的理论及应用价值。而图代数塔的Grothendieck群上往往有丰富的代数结构，因此是实现经典代数范畴化的有力工具。本项目考虑某些与Schur-Weyl对偶理论所紧密联系的图代数塔，如Temperley-Lieb、Brauer以及partition代数塔等。一方面，试图通过研究代数塔的表示与同调方面的性质来确定其Grothendieck群上的代数结构，包括结合代数结构、余代数及Hopf代数结构。另一方面，研究用公理化方式定义的图代数塔的Grothendieck群。

图代数在数学及物理的诸多领域中起着非常重要的作用。本项目研究与Schur-Weyl对偶理论所紧密联系的图代数在去范畴化过程中的代数结构，所考虑的图代数通常具有塔型结构，包括Temperley-Lieb代数、Brauer代数、partition代数以及它们的形变、子代数、范畴版本。.本项目完成了以下主要成果。.关于walled-Brauer代数，首先给出了代数的“扭张量积”的概念，从而为walled-Brauer代数赋予了“塔型”结构。引入了double-walled图（模）的概念，用于研究胞腔模上的branching rule，从而给出了有效地计算 Grothendieck群上的代数结构的方法。.研究了Brauer范畴辫子张量函子的参数化, 计算了更广义的“去范畴化”过程——Tannaka重构上的代数结构，并将结论提升到了Deligne范畴Rep(O)。.研究了平面partition代数的偏图（或称半图），通过引入walled图的概念，研究了偏图构成的模限制在张量子代数上的重数问题，并给出了计算方法。给出了这种重数的平面几何的解释，从而也给出了Temperley-Lieb代数塔的Grothendieck群的代数结构的几何解释。