典型群及相关代数结构上几类图的自同构群及自同态半群

Study on the structure of automorphism groups (or endomorphism monoids) of algebraic (or combinatorial) objects has been recieved widely attention, because such study deeply reveals the nice structure symmetry of the research objects. Recently, a lot of results were obtained on the diameter and the girth of commuting graphs (or zero-divisor graphs ) over groups (or over semigroups、rings) , however, little is known about the automorphism groups and the endomorphism monoinds of such graphs. Based on our long-term accumulation on automorphism groups of classical groups, we aims to do what follows in this project:.1、Based on the known results on autoimorphism groups of symplectic graphs (or orthogonal graphs, or unitary graphs), we devote to determine whether or not the endomorphism monoids of such graphs are regular..2、Characterize the full automorphism groups of the zero-divisor graphs over matrix semigroups (or over group algebras)..3、Determine the automorphism groups of the commuting graphs over classical groups (or over matrix semigroups, or over Lie algebras. or over groups of Lie type)..4、Determine the diameters and the girths of the commuting graphs over finite-dimensional simple Lie algebras.

自同构群及自同态半群的结构问题，因其深刻揭示代数系统或组合结构的对称性，成为代数领域的经典研究课题。近期，关于环、半群上零因子图，及群、半群、环上交换图的直径、围长、团数等结构参数的研究取得了系统的研究成果，然而关于上述这些图的自同构群及自同态半群的正则性的研究尚处于起步阶段，许多重要问题亟待解决。本项目基于长期在典型群、矩阵半群、矩阵代数、李代数、李型单群的自同构群问题的研究积累，致力于：.1、充分利用辛图、正交图、酉图上自同构群的已有结论，决定这些由典型群定义的图的自同态半群的正则性；.2、刻画矩阵半群、群代数上零因子图的自同构群的结构，决定这些图的自同态半群的正则性；.3、决定典型群、矩阵半群、李型单群、李代数上交换图的自同构群的结构，判定这些图的自同态半群的正则性；.4、决定有限维复单李代数及李型单群上交换图的直径和围长。

自项目获批以来，项目组依照项目计划给出的时间节点，针对项目提出的研究内容，依托项目组在代数图的自同构问题上积累的宝贵经验， 综合利用‘约化法’、‘化归法’、‘矩阵代数转化法’、‘李代数转化法’等研究方法，系统研究了典型群及矩阵代数上定义的几类图的自同构群和一类图的自同态正则性。给出了基于图的结构参数的图的能量及图的零度的若干上界。 4年来，我们在该领域发表标注基金号的 SCI 论文 28 篇，其中一篇论文发表于组合数学顶级期刊 European J. Comb. 上 5 篇论文发表在代数学主流期刊 J. Lie Theory 和 Comm. Algebra 上，8 篇论文发表在代数图论的核心期刊 Linear Alg. Appl. 上。. 总体来说，经过项目组 4 年时间的精心研究，计划内容基本完成。 初步构建了 ‘基于典型群及矩阵代数的图的自同构群问题’ 的理论框架。4年来，依托本项目我们培养了博士生 5 名，硕士生 9 名。在推进项目计划的同时，青年人才得到了很好的锻炼，一支在该领域有国际影响的学术队伍正在形成。