分枝马氏过程的若干研究

Branching Markov process is one of the deepest studied model in probability theory, which describes population evolution of species and large scale complex systems. Branching random walk can be seen as the extension of branching process with spatial motion, whose asymptotic properties are actively studied in recent years. The convergence rate of Markov process is an important tool to describe how the stochastic phenomenon reaching its balance state or degenerate state and has extensive applications in biology, economics and finance. It is also used to study the evolution of random dynamical systems and species populations. Recently, the research on the decay rate of non-ergodic Markov processes has made great progresses. However, there are still may open problems on these topics. We are devoted to: Converging rates of some types of branching processes; Limit behaviors of multi-type branching processes with immigration and branching processes with immigration in random environment; The martingale convergence and converging rate of the mini position of some branching random walks; Some branching random walk with barrier; The algebraic decay rate of non-ergodic Markov processes, etc. We are expecting some new results that may have influence and push forward the research in related fields.

分枝马氏过程是刻画种群人口演化的随机过程，也是大规模复杂系统随机演化的数学模型，是概率论中研究最为深入的应用模型之一。分枝随机游动可以看作分枝马氏过程增加空间运动后的拓展，其渐近性质的研究近十年来十分活跃。马氏过程的收敛速度是描述随机现象随时间演化达到平衡态或者呈退化状态的工具，在生物、经济管理、金融等各个领域都有广泛的应用，也可用于刻画统计物理中随机动力系统的演化以及生物种群的繁衍。近年来，马氏过程衰减速度的研究有了蓬勃的发展。我们主要致力于以下几方面的研究：分枝过程的极限性质；多物种或随机环境下带移民分枝过程的收敛性质；分枝随机游动的鞅收敛性、最小位置的收敛速度、带障碍的分枝随机游动的渐近性质以及非遍历马氏过程的代数式衰减速度。期望在某些问题上的研究取得突破，丰富并发展相关领域的研究成果。

四年来，围绕着带移民分枝过程、随机环境中分枝过程这两条主线，我们在带移民分枝过程的极限性质、随机环境中分枝过程的生命时、分枝随机游动的渐近性质等课题的研究方面取得了一系列成果。共发表（或接受发表）研究论文12篇，其中7篇为SCI论文。本项目的主要研究结果为：研究了临界带移民分枝过程的调和矩和Lotka-Negaev型大偏差；研究了临界带移民分枝过程驱动的随机和的大偏差；证明了临界带相依移民分枝过程的极限定理并得到相应的参数估计；讨论了随机环境中的临界、下临界带移民分枝过程生命时的渐近性质；证明了一类带障碍的分枝随机游动的极限定理；证明了LlogL矩有限情形下上临界带移民分枝过程的局部极限定理和下偏差，进而推广到LlogL矩无限的情形，并讨论了允许个体的后代数等于零的情况；研究了二阶矩无限的情形下，临界带移民分枝过程母函数的极限定理和生命时；研究了树上马氏链的收敛速度问题，得到树上的一类生灭过程代数式收敛的判定定理等。在学术交流方面，积极参与国际国内合作与交流，多次参加国际国内学术会议。人才培养方面，培养了一定数量的硕士生和博士生，四年间共培养毕业博士生1人，硕士生12人；目前在读博士生2人，在读硕士生9人。