泊松几何与量子化

Poisson geometry is an important branch of modern differential geometry. It originated from classical mechanics, has wide and deep connections with many problems in modern mathematical physics. In the background of quantization, the proposal will deal with several problems in Poisson geometry. It mainly includes the following parts: .1. Extended Poisson structures on CP2 and CP1 × CP1, and extended symplectic structures on general manifolds. 2. The Non-commutative deformations and quantization of Poisson Del Pezzo surfaces. 3. The holomorphic Poisson structures on toric varieties and their quantization. 4. Poisson sigma model and Dirac sigma model on Poisson homogenous spaces.

泊松几何是现代微分几何学的一个重要分支，它起源于经典力学，和现代数学物理中的众多重要问题有着广泛而深刻的联系。本项目以量子化为背景，研究泊松几何中的若干问题，其中主要包括以下几个方面：1. CP2和CP1 × CP1上的括展泊松结构和一般流形上的扩展辛结构。2. 泊松Del Pezzo曲面的非交换形变和量子化。3. Toric簇上的全纯泊松结构和量子化。4. 泊松齐性空间上的泊松 sigma-模型和Dirac sigma-模型。

泊松几何是近年来很活跃的一个领域。本项目主要研究泊松几何中的两类问题。一类问题是全纯泊松流形及其泊松上同调群。另外一类问题是李双代数的Atiyah类。..对于第一类问题，我们研究了环簇，Del Pezzo 曲面和复格拉斯曼流形上的全纯泊松结构及其上同调。我们研究了光滑的环簇上的在T-作用下不变的一类全纯泊松结构，我们称之为全纯的toric泊松结构。在$CP^n$和$C^n$的情形，我们给出了所有的toric泊松结构对应的泊松上同调群。在一般的情形，我们给出了紧致光滑环簇上的全纯多向量场的刻画。在toric Fano流形的情形，我们给出了所有的toric泊松结构对应的泊松上同调群。在Del Pezzo曲面的情形，我们计算出了所有的泊松同调群。我们还对Del Pezzo曲面的泊松上同调群做了进一步研究，得到了一些结果。在复格拉斯曼流形上，有一类特殊的全纯泊松结构-标准泊松结构。我们对其泊松上同调群进行了初步的研究。我们得到了$H^i(X,\wedge^j TX)=0, (i>0)$。因此其泊松上同调群归结为格拉斯曼流形上的全纯多向量场的研究。我们对此已经有些想法，相关工作正在进行中。..对于第二类问题，我们研究了李双代数的Atiyah类。Atiyah类最初是由M.F. Atiyah引进，用以刻画全纯向量丛上的全纯联络存在性的障碍。近年来Atiyah class被大家推广到各种情形。我们主要研究一类和李双代数相关的Lie pair的Atiyah类。 我们给出了李双代数对应的Atiyah类，它由$g$上以及$g^*$上的李代数结构决定。作为其推论，上边缘李双代数对应的Atiyah class为零。我们还给出了李双代数的一阶Scalar Atiyah class，它由李代数$g$的模向量和$g^*$上的李代数结构所决定。将这些结果用在Lu-Weinstein提出的李双代数的情形，我们得出了其Atiyah class不为零。..还有很多有意思的问题有待研究，在接下来的几年里，我们还将继续相关的研究。