泊松方程的源辨识问题

Our project is to study source identification problem of Poisson equation in two-dimensional and three-dimensional space, i.e., using measurement Cauchy data to detect the number、the location、the size and the shape of hidden inclusions within a body. This kind of problem has a very important application value in the oil and natural gas exploration and other fields. Source identification problem is severely nonlinear and ill-posed, that is, any small change in the measured data can result in a dramatic change to the location and the size for reconstructing source, therefore, we should consider to apply a regularization technique to eliminate the ill-posed of this problem in practical problems. We adopt a method that the original problem is transformed into a nonlinear variational problem, and then employ iterative algorithms and regularization technique to obtain the approximate solution. In our project, we mainly consider the source identification in homogeneous medium, our goal is to seek fast and efficient numerical algorithms to recover the number、the location、the size and the shape of hidden inclusions within a body in two-dimensional space. Meanwhile, we try to do some exploratory research of source identification in three-dimensional space because of difficulty. we hope that our research provide useful reference value for solving practical problems.

本项目研究的是二维和三维空间上泊松方程源项辨识问题，即利用测量的柯西数据来确定隐藏在物体内部源项的个数、 位置、 大小和形状。 这类问题在石油和天然气的勘探等领域有很重要的应用价值。 源项辨识问题是严重的非线性不适定问题， 即当测量数据有很微小的扰动时必将导致重构源的位置和形状发生很大的偏差， 因此在实际问题的应用中要考虑运用正则化方法来消除问题的不适定性。 我们采用的方法是将原问题转化为非线性的变分问题，然后利用迭代算法和正则化技术来求问题的近似解。 本项目中我们主要考虑是均匀介质中的源项辨识问题，侧重点是研究即快捷又高效的数值算法来恢复二维空间上隐藏在物体内部的源项的个数、 位置、 大小和形状。 同时对于比较困难的三维源辨识问题做一些探索性的研究。希望我们的研究对实际问题的解决提供有用的参考价值。

源项辨识问题在生物医学和油气资源勘探等方面都有很广泛的应用，比如：探测人脑中癫痫病的位置和大小以及探测地表下的岩层结构中油气资源的位置和储量等。 本项目对二维和三维空间上，均匀介质中泊松方程的源项辨识问题进行了深入的研究。 本项目对源项辨识问题进行了理论分析的研究和数值算法的研究，分别研究了二维空间上的源项的个数、位置、大小和形状的重构问题和三维空间上源项的个数、位置和大小的重构问题。源项辨识问题是非线性的不适定问题，因此在求解问题的过程中要采用正则化的方法。本项目把原问题转化为一个优化问题，根据二分法和序列不一致原理方法确定正则化参数，并且提出了基于边界参数化的形状导数，采用迭代算法求解源项识别问题。本项目中采用了两种迭代算法，即最速下降方法和信赖域方法，重构二维和三维空间上的源项。本项目验证了这两种算法是稳定的和收敛的。对于不同的数值例子，这两种迭代算法可以得到比较精确的数值解。本项目的研究对生物医学和油气资源的探测应用中起着很重要的指导作用。