辛几何与泊松几何中双不变度量和测地线相关问题研究

The main purpose of this project is to study the bi-invariant Finsler metrics and geodesics on the group of Hamiltonian diffeomorphisms in symplectic manifold and Poisson manifold. We first study the following conjecture of Muller: whether the Hofer norm and the extended Hofer norm coincide for a Hamiltonian diffeomorphism? We will prove that the Muller conjecture holds for the time-1 map of the Hamiltonian flow generated by a compactly supported admissible function with isolated fixed extremal points in stand symplectic manifold. We give some sufficient conditions to determine geodesics and show that if a continuous Hamiltonian path is a geodesic with constant speed, the generating Hamiltonian of the path is not necessarily time-independent. We first define a Hofer-type metric for the group of Hamiltonian diffeomorphisms on regular Poisson manifolds and give some properties and geodesics. We show that the norm from max oscillations and the mean oscillations coincide for the Hamiltonian diffeomorphisms on regular Poisson manifold, and define the completion topology of Hamiltonian homeomorphisms on regular Poisson manifolds.

本课题主要研究辛流形和泊松流形哈密顿微分同胚群上的Finsler双不变度量与测地线。首先研究哈密顿同胚群上的Muller猜想，即哈密顿微分同胚的经典Hofer范数与作为哈密顿同态的广义Hofer范数是否一致，计算标准辛空间中具有紧致支集并有孤立极点的哈密顿函数产生的哈密顿微分同胚的广义Hofer范数，证明在此情形下的Muller猜想。给出哈密顿同态道路是测地线的一些判定条件，考虑匀速的连续哈密顿流其对应的连续哈密顿函数是否自治。首次在正则泊松流形哈密顿微分同胚群上构造一个Hofer型双不变度量，讨论该度量下的几何性质和测地线，证明通过平均震荡积分与最大震荡积分构造的范数是一致的，建立泊松情形下哈密顿微分同胚群的完备化理论。

本课题主要研究辛流形和泊松流形哈密顿微分同胚群上的Finsler双不变度量与测地线，经过一年的研究，完成了该课题的各项任务，取得的进展如下：通过选取特殊的哈密顿道路进行拼接，构造了新的哈密顿同态，证明了标准辛空间中具有紧致支集并有孤立极点的哈密顿函数产生的哈密顿微分同胚的广义Hofer范数和经典Hofer范数是一致的。给出了哈密顿同态道路是测地线的一些判定条件，说明了匀速的连续哈密顿流其对应的连续哈密顿函数不一定自治。在正则泊松流形哈密顿微分同胚群上，利用Casimir函数的性质和泊松流形的几何分层结构，构造一个Hofer型双不变度量，给出该度量下的几何性质，并证明通过平均震荡积分与最大震荡积分构造的范数是一致的，证明了泊松意义下哈密顿同胚群的完备化后仍然是拓扑群，建立了泊松情形下哈密顿微分同胚群的完备化理论。