一类高维非线性系统的全局摄动方法、多脉冲混沌动力学及应用研究

Studies on the theories, methods and applications of the dynamics for high-dimensional nonlinmear systems become a significant and leading topics in the field of dynamics and control. At present the main mehtods for studing the global dynamics for high-dimensional nonlinear systems are to prove the existence of various homoclinic orbits by using global perturbation and invariant manifold theory, and then study the global bifurcations and chaotic dynamics. The main mathematical analytical methods include high-dimensional Melnikov method in the case of non-resonance, the extended Melnikov method and the energy-phase method in the case of resonance. These theories and methods strictly depend on the completely integrability of the geometric structure, hence the studies on the global dynamics of the real systems in the field of mechanics, aerospace and mechanical engineering will encounter great difficulties. So considering the practicability and geometric intuitiveness in the engineering application, we take a classs of typical high-dimensional nonlinear systems in engineering practice as the research object in this project, systematically study the global perturbation method and the multiple pulse chaotic dynamics for this system. We also employ the global perturbation method to study the mechanism of modal interaction, the global bifurcations and multipulse chaotic dynamics for functionally graded material structure under complex loading. Research results not only enrich the method of the global dynamics for high-dimensional nonlinear system, but also provide the valuable guidance for the composite material structure design, dynamic analysis and vibration control.

高维非线性系统动力学的理论、方法及应用的研究是动力学与控制领域重要的前沿课题。目前高维非线性系统全局动力学的研究主要是应用全局摄动和不变流形理论证明各种同宿轨道的存在性，从而研究系统的全局分叉和混沌动力学。数学解析方法主要有非共振情况下的高维Melnikov方法，共振情况下的广义Melnikov方法和能量-相位法。这些理论和方法严格依赖于系统的可积性几何结构，在研究力学、航空航天以及机械工程等领域的真实系统的全局动力学时遇到了极大的困难。因此本项目以工程实际中具有典型意义的一类高维非线性系统为研究对象，考虑工程应用的实用性和几何直观性，系统地研究该系统的全局摄动方法和多脉冲混沌动力学，并应用该方法研究功能梯度材料结构在复杂载荷下的模态间的相互作用机理、全局分叉和多脉冲混沌动力学等。研究结果即丰富高维非线性系统全局动力学的方法，也为复合材料结构的设计、动力学分析及振动控制提供有价值的指导。

力学、航空航天和机械工程等领域中，许多问题的力学模型可用高维非线性系统 来描述。当这些系统受到外部载荷，并且在系统内部非线性耦合的情况下，系统将表现 出复杂的非线性动力学行为，如模态作用、能量转移、跳跃现象和多脉冲混沌动力学等 。无论从非线性动力学理论角度还是从工程应用方面，寻找这些复杂行为出现的机理并 对系统施加合理的控制是一个非常有意义的研究课题。 . 本项目主要研究高维非线性系统动力学的理论及应用。主要研究成果包括：我们首先发现了一类具有强刚度非线性的耦合振子动力学的不可逆性现象，从理论及实验上揭示了系统模态间相互作用及从大尺度向小尺度的非线性能量转移的机理。这项研究为设计具有强非线性的不可逆性声学材料提供了一个想法，在未来的应用中，它将被用于设计包含非线性分层内部结构、不对称和尺度混合的晶格。利用非线性状态反馈控制法，提出了一个新的具有较大正 Lyapunov 指数的四维光滑自治超混沌系统。发展了平面非光滑系统全局分岔和混沌动力学的Melnikov方法，次谐轨道的Melnikov方法，考虑了轨道在开关流形横截穿过或者碰撞跳跃的情况，建立了处理平面非光滑系统全局动力学的方法体系，而且发展的Melnikov函数形式简单，易于工程应用。 利用 Reddy三阶剪切变形理论，建立了夹层功能梯度双曲扁壳结构的动力学方程，利用多尺度等摄动方法研究了该结构的非线性振动特性，同时研究了功能梯度截锥壳在复杂载荷作用下的非线性动力行为和简支FGM圆柱板在气流中的混沌和周期非线性振动。本项目也研究了预腐蚀对两类铝合金复合材料的疲劳损伤及裂纹扩展的动力学影响和具有Levy跳的三生物种群动力学模型，同时研究了无界域上的超正则函数Cauchy公式，Plemelj公式以及复k-超正则向量值函数的性质。