非光滑系统全局动力学的Melnikov方法及应用研究

In mechanical, aerospace and mechanical engineering systems, there exist a large number of non-smooth factors, such as collision, impact, dry friction, varying stiffness, clearance and so on. Due to the non-smooth characteristic of vector fields, the traditional methods of global dynamics and bifurcations for smooth systems are no longer applicable. It is necessary to develop new methods which can be used to analyze global dynamics and bifurcations for non-smooth systems. Studies on the theories and applications of global dynamics for non-smooth systems become one of significant and leading topics and encounter great challenges in the field of dynamics and control. Considering practicability and geometric intuitiveness in engineering applications and basing on the perturbed techniques of global dynamics for smooth systems, we study the theories of stable and unstable manifolds of non-smooth systems, develop Melnikov methods for global dynamics of non-smooth systems, and reveal the mechanism of global bifurcations and chaotic dynamics. Furthermore, we employ the developed analytical methods to study global dynamics of simple piecewise-smooth mechnical systems and verify the effectiveness of analytical methods for studing the mechanism of complicated motions. Studies on global dynamics for non-smooth systems have important theoretical significance and wide application prospect for dynamic optimization designs in engineering structure and mechanics.

力学、航空航天和机械等实际工程系统中，存在着大量的非光滑因素。例如，碰撞、冲击、干摩擦、变刚度、间隙等。由于非光滑系统向量场的非光滑性，使得光滑系统中研究全局动力学与分岔的传统方法不再适用，需要从理论上探究一些分析非光滑系统全局动力学与分岔的新方法。目前非光滑系统全局动力学的理论及应用的研究是动力学与控制领域重要的前沿课题之一，具有很大的挑战性。本项目考虑工程应用的实用性和几何的直观性，基于光滑系统全局动力学的摄动技术，研究非光滑系统的稳定流形和不稳定流形理论，系统地发展非光滑系统全局动力学的Melnikov方法，揭示系统的全局分叉、混沌动力学等复杂运动的机理。进一步利用发展的解析方法，研究简单的分段光滑力学系统的全局动力学特性，通过简单的力学模型验证解析方法研究复杂运动机理的有效性。非光滑系统全局动力学的理论研究对工程结构和机械的动态优化设计等具有重要的理论指导意义和广阔的应用前景。

考虑工程应用的实用性和几何的直观性，基于光滑系统不变流形理论和同宿轨道全局动力学的摄动技术，本项目推广了非光滑系统的稳定流形和不稳定流形理论，系统地发展了平面非光滑非自治系统同宿轨道和次谐轨道的Melnikov方法，揭示系统发生同宿分岔、次谐分岔、轨道在切换流形上的跳跃、混沌动力学等复杂运动的机理及参数阈值。进一步首次利用发展的非光滑系统的Melnikov方法，研究了一类新的具有双边弹性约束的双稳态非线性振子的全局动力学以及一类分段光滑振子同宿混沌抑制的状态反馈法、自适应控制法和参数激励法，通过简单的力学模型验证了本项目发展的解析Melnikov方法研究全局动力学的有效性。进一步发展了高维非自治动力系统不变集的分岔与近似向前吸引子的理论。本项目开展的非光滑系统全局动力学的理论研究对工程结构和机械的动态优化设计等具有重要的理论指导意义和应用前景。