差集和结合方案中若干问题的研究

Difference set is the central object in algebraic design theory, and association scheme is an important topic in algebraic combinatorics currently. They both have various applications in coding theory and cryptography. Generally speaking, association scheme provides a frame for the study of a certain object, while difference set provides a realization and construction. This project aims at exploring and developing the connections between these two objects, with their close interplay in mind. More specifically, there are two aspects:. (1) Association scheme provides a new perspective and platform for the study of difference set. We expect that it will play an important role in the construction of nonabelian difference sets and in the understanding of the structure of abelian difference sets. This will lead to new progress in some important problems in this area. The basic idea is to construct association schemes of particular forms, and use them to construct difference sets. We expect that association scheme will serve as a bridge. It will also help with the study of the structure of abelian difference sets.. (2) Certain difference sets can be used to construct association schemes of particular forms. This provides rich examples of association schemes, and helps us to understand the latter better. With this as the starting point, we will systematically study association schemes with few classes and pseudocyclic association schemes.

差集是代数设计理论中的中心课题，而结合方案是代数组合学中的热点课题，它们在编码学和密码学等方面有着重要应用。总体上讲，结合方案提供了一个分析问题的框架，而差集则提供了具体实现和构造。本项目主要是站在差集和结合方案的交叉点，试图探索和拓展两个研究方向的联系。具体的讲：.（1）结合方案为差集的研究提供了一种新的视角和研究平台，有望应用于非交换差集的构造和交换差集的结构分析，从而在一些亟待解决的问题上取得新的突破。基本思路是在非交换群中寻找某些特定类型的结合方案，然后利用其结构来构造差集：结合方案扮演着桥梁的作用。结合方案在研究关于交换差集结构的问题时也起着一定作用。.（2）某些类型的差集可以用来构造特殊形式的结合方案，为后者提供了丰富的例子，有助于我们对后者的理解。以此为出发点，本项目组成员将对类数较少的结合方案和拟循环结合方案存在性进行系统研究。

代数设计理论是用代数和数论方法研究组合设计的一个组合学分支，差集是其中的中心研究课题。结合方案统一了人们对很多组合问题的认识，已经发展成为代数组合学中的中心课题之一。差集和结合方案有着紧密的联系，在通信和密码学中有着很多重要的实际应用。本项目主要是站在差集和结合方案的交叉点，试图探索和拓展两个研究方向的联系，并探讨在信息安全方面的应用。本项目发展了利用有限域中分圆类构造强正则图的方法，结合有限几何的理论，构造出具有新参数的具有正则自同构群的差集和结合方案，解决了Song 1996年提出的一个公开问题；探讨了结合方案和代数编码理论的紧密联系，应用前者研究中成熟的工具和结论来研究循环码的重量分布以及m-序列的互相关性，利用四元Delsarte-Goethals码的Lee重量分布构成的划分，得到新的类数较少的结合方案；对有限几何进行了初步研究，通过充分结合有限几何的直观和代数工具的深刻，在Cameron-Liebler line class的研究上取得重要进展。本项目发表SCI论文10篇，其中JCTA两篇、Combinatorica一篇、Journal of Algebraic Combinatorics两篇、IEEE-IT五篇。