复域差分方程和微分差分方程中若干问题研究

Since Nevanlinna’s theory has been introduced, the theory of difference equations and differential difference equations has grown rapidly in the past fifteen years and many results have been obtained. At the same time, some important problems need to be developed. In this project, we will investigate Malmquist type results in complex differential difference equations and give all forms of the equations in the case of the existence of admissible solutions. We will characterize meromorphic solutions of difference equations by special functions, exponential polynomials and transformation techniques. We will investigate the existence, periodicity and properties of value distribution of solutions of difference equations with periodic coefficients. And we will establish difference analogues of important theorems in Nevanlinna’s theory and improve the theory of complex differences. These contents are important problems to be solved in the development of complex difference equations and differential difference equations. The equations to be studied have many backgrounds in physics, biology, economics and other disciplines. Our investigation will promote the development of these disciplines and add new vitality to the development of Nevanlinna’s theory. In our earlier work, we have obtained some related results. In this project, we will utilize the past experience and methods, and create new ways to carry out our investigation more deeply and extensively.

随着亚纯函数Nevanlinna理论的引入，近十五年来复域差分方程和微分差分方程理论发展迅速,得到了很多结果，同时有一些重要问题有待发展。本项目将讨论复域微分差分方程中Malmquist 型结论，在方程存在可允许解的情况下，给出方程所有可能的形式；通过特殊函数、指数多项式和转化技巧刻画差分方程的亚纯解；研究周期差分方程解的存在性、周期性和值分布性质；建立Nevanlinna理论中重要定理的差分模拟，进一步完善复域差分理论。这些研究内容是复域差分方程和微分差分方程发展过程中有待解决的重要问题，要研究的方程在物理学，生物学，经济学等学科中都有很多的背景。本研究将促进这些学科的发展，并为Nevanlinna理论的发展增添新的活力。前期工作中, 我们已经取得了一些相关的结果，本项目将利用以往的经验和方法，并开拓新的途径开展更加深入和广泛的研究。

本项目中，我们对复域差分方程和微分差分方程中有待发展的若干问题进行了研究，发表18篇论文（含3篇已接收待发表论文），其中SCI论文13篇，中文权威核心论文3篇. 主要研究情况如下：运用零点分析法和渐近方法研究了Malmquist型微分差分方程，得到了方程的退化形式，并由此得到了超越整函数解的具体表示形式以及值分布性质. 通过将非线性方程的求解问题转化为线性方程的求解问题，得到了一类非线性微分差分方程的所有整函数解. 运用渐近方法研究了常系数线性差分方程（也是一类周期线性差分方程），得到了超越亚纯解的级的下界. 利用微分的方法和线性微分方程，研究了三类非线性差分方程（当系数为周期函数时即为周期非线性差分方程），得到了这些方程亚纯解的具体形式，即可以由指数函数的组合来刻画. 利用极点分析以及微分的方法研究了亚纯函数差分多项式的零点问题，运用适当的变形和渐近的方法研究了涉及亚纯函数差分多项式的唯一性问题，建立了Hayman关于微分多项式的经典结果、Brück猜想等微分领域相关结果的差分模拟. 此外，还研究了Malmquist型函数方程的退化形式以及解的形式，将方程与唯一性理论相结合研究了Schwarzian微分方程以及相应的差分方程，讨论了线性微分方程亚纯解的存在性、表示形式以及增长性，研究了亚纯函数的差分算子的唯一性问题. 项目研究结果可以成为研究其它复域方程的潜在工具，研究思路为进一步研究复域方程提供一定的借鉴和参考.