基于多种保费准则的最优风险控制

The expected value premium principle is widely used in risk theory for its mathematical convenience. But it has a defect that volatility of the claims loss is not fully considered. The project, based on accumulations of knowledge and long time research in the finance, insurance and stochastic optimal control, is committed to optimal control problems with many types of premium principles including Esscher premium principle and Wang's premium principle. By constructing appropriate mathematical models, one can well describe the dependent risk model, nonlinear risk model, risk model that has injection and Markov modulated risk model in detail. To many objective functions with maximum dividends, minimum bankruptcy, maximum mean-variance and minimum convex risk measure, we use the measure transformation, dynamic programming, maximum principle, storage theory and backward stochastic differential equations to solve the explicit expression of value function and optimal action strategy. Further we study the relations between the optimal controls with Esscher and Wang's premium principles and option pricing. The project not only can enrich the financial and insurance actuarial research, but also greatly promote the integration of stochastic control and finance-insurance.

由于期望值保费准则具有数学处理方便的特点，在风险理论中得到人们的广泛采用。但它有一个欠缺，就是没有充分考虑理赔损失的波动性。本项目基于我们在金融保险、随机最优控制理论基础及长期的研究积累，致力于在Esscher保费准则、王氏保费准则等多种保费准则下的最优控制问题研究。通过构建合适的数学模型，对相依风险模型、非线性模型、有注资模型、马尔可夫体制转换模型等进行详细刻画；在最大分红、最小破产、最大均值-方差、最小凸风险测度等不同目标函数下，利用测度变换、动态规划、最大值原理、存储理论、倒向随机微分方程等多种技术手段，分析求解最优策略与值函数的解析表达；进一步，探索Esscher保费准则、王氏保费准则下的最优控制与金融数学中的期权定价之间的联系。对该项目的研究不仅能丰富金融保险精算的研究内容，同时也能极大地促进随机控制与金融保险的融合。

四年来，项目组成员围绕“多种保费准则下的最优风险控制”展开了紧密的科学研究。在再保险、分红、注资及投资组合等相关领域取得了重要的研究成果，达到了预期设想。主要研究有（1）非线性风险模型下的最优控制问题。在一类具有内部竞争模型，我们研究了具有正则控制变量、脉冲分红等联合控制的最优问题以及随机微分博弈问题，分析了多种情形的最优策略形式。(2)最优投资组合问题。在一般方差保费准则下的风险模型，以及马氏调制风险模型、自激励阀值模型，基于最大效用、最小破产以及最小凸风险测度等目标函数研究了最优再保险以及投资组合问题。 (3)有多个再保险人控制的最优问题研究。在面对巨灾等不可承受风险时，我们考虑有两家及多家再保险公司来共同承担再保险以分担风险。在方差保费准则、期望保费准则下，获得了一般再保险函数类下最优再保险形式以及最优策略。(4)有多个风险类下的最优控制问题。对每个风险类，我们假定采取方差保费准则、王氏保费准则、 Dutch保费准则等不同再保费准则，获得了最优再保险形式，丰富和拓展了仅有一个风险类的控制问题。(5)有两个分红策略下的最优问题。股东的红利分配是考核公司的一个非常重要指标，以往研究仅仅考虑一种分红型式。我们突破这种限制，考虑了具有连续分红和脉冲分红混合型分红，得到了一种新型的最优分红机制。(6)破产相关问题。在离散时间模型以及具有一类相依（Farlie-Gumberl-Morgenstern copula）模型下研究了Gerber-Shiu函数，对一类延迟更新模型研究了破产时间以及破产前的联合分布问题。对上述最优问题以及重要精算诊断量的研究丰富和发展了风险理论，对业界提供了重要参考。