对偶风险模型中最优控制问题的研究

Stochastic optimization is an important part of actuarial science. In the classical risk model (spectrally negative Levy model), a number of optimal problems have been widely studied, such as the optimal dividend, optimal investment, utility maximization, risk minimization and so on. Recently, in the dual risk model (spectrally positive Levy model), the optimal problems have also been discussed by many scholars, but the relevant research is not deep enough. In the applicant's PhD thesis, some optimal dividend problems had been studied for the dual risk model, and the two related papers (SCI retrieval) had been published. On the basis of the preliminary studies, we will discuss the optimal dividend with capital injection and transaction tax. At the same time, we consider the impacts of stochastic interest rate and economic conditions. Firstly, we will discuss the fluctuation theory for Markov regime-switching Levy process. Then, we will study these optimal problems by the fluctuation theory Levy process, Ito formulas, martingale theory, the Quasi-Variational Inequalities and viscosity solution, etc.. On the one hand, this subject will promote the research of property for Levy processes; on the other hand, it will provide good guidance for some company's managers.

随机最优化问题是精算学研究的重要内容。在经典风险模型(谱负Levy模型)中，许多最优化问题得到了广泛的研究，如最优分红、最优投资、期望效用最大化以及风险最小化等。近来，对偶风险模型(谱正Levy模型)中的最优化问题也引起了众多学者的关注，但是问题的研究还不够全面深入。申报人的博士毕业论文研究了对偶风险模型中的一些最优分红问题，并已发表2篇相关的论文(SCI检索)。在前期研究工作的基础上，本课题将研究对偶风险模型中分红、注资、投资以及交易税的最优控制问题，并且考虑经济状态转移的影响。本课题欲先研究马尔科夫状态转移下的Levy过程的首达时性质、尺度函数等漂移理论，然后利用随机分析的Ito公式以及鞅理论，和Levy过程的漂移理论，结合随机控制中拟变分不等式以及粘性解等知识，来研究这里的最优化问题。本课题的研究一方面将促进Levy过程性质的研究，另一方面也将给一些公司的科学经营提供一定的理论依据。

本项目主要研究了对偶风险模型和扩散逼近风险模型中的最优分红、注资、再保险问题。.首先，在复合泊松对偶风险模型中，研究了分红速率无限制下最优分红注资问题；在扩散逼近风险模型中，分别在分红速率有限制和无限制两种情形下，讨论了最优分红注资再保险策略；上面两个问题均考虑了比例交易税、固定交易税和破产惩罚的影响。.其次，在一般对偶风险模型（谱正Levy风险模型）中，分别研究了分红速率有限制和离散时间分红两种情况下的最优分红注资问题，由Levy 过程的尺度函数给出了最优分红注资策略以及破产前净收益折现期望的最大值，这里也考虑了交易税的影响。.再次，研究了马尔科夫机制转换下谱正Levy风险模型中的最优分红问题，假设分红速率无限制，利用Levy 过程首达时等漂移理论，得到了最优调节的障碍分红策略，以及破产前红利折现期望最大值的近似表达式。.最后，在有随机时间界的复合泊松对偶风险模型中，研究了非指数折现函数下最优分红策略问题，利用随机博弈理论，在指数随机收益下，找到了均衡分红策略和对应的均衡值函数。.上述研究结论，均有对应的数据实例，通过MATLAB软件给出了具体的最优分红界、门限以及值函数，由此还分析了各个参数对控制问题的影响，给出了合理的经济解释。本项目的研究成果推广了已有的结论，在方法和理论都有一定的创新，为以后研究更前沿更广阔的课题奠定了基础。